Wyznacznik macierzy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
act
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 286
Rejestracja: 31 gru 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 12 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: act »

Czy jest jakieś twierdzenie, które mówi coś o wyznaczniku macierzy, gdy wiersz macierzy jest identyczny z jedną z jej kolumn?
miodzio1988

Wyznacznik macierzy

Post autor: miodzio1988 »

Nie ma. Ja takiego nie pamietam. Na macierzy dwa na dwa sobie popatrz , że zadnych zaleznosci wtedy nie ma.
act
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 286
Rejestracja: 31 gru 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 12 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: act »

Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}30&26&43&84&5\\26&26&40&78&4\\43&40&66&132&7\\84&78&132&294&12\\5&4&7&12&1\end{array}\right]}\).

Jest jakiś sposób na sprytne obliczenie jej wyznacznika?
miodzio1988

Wyznacznik macierzy

Post autor: miodzio1988 »

To macierz jest symetryczna nawet Miło;] Do postaci trojkatnej gornejdolnej bym sprowadzal. SPrytnego sposobu nie widze poki co.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Wyznacznik macierzy

Post autor: Mariusz M »

Rozkład LU albo to o czym napisał miodzio1988,

Rozkład LU

1. Szukasz w kolumnie (poniżej głównej przekątnej) elementu o największej wartości bezwzględnej
i jeżeli znajdziesz taki element zamieniasz wiersze
Jeżeli nie znajdziesz takiego elementu a na głównej przekątnej jest zero to wyznacznik jest równy zero
(aby później móc ustalić znak wyznacznika musisz zliczać ile razy zamieniałeś wiersze)
2. Pierwszy wiersz macierzy przepisujesz bez zmian
a pierwszą kolumnę (elementy poniżej głównej przekątnej) dzielisz przez element o największej wartości bezwzględnej
3. Dla pozostałych elementów macierzy obliczasz uzupełnienie Schura

\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1}a_{1j}}\)

Powyższe kroki powtarzasz ale już dla macierzy o mniejszym wymiarze

Gdy już dokonasz rozkładu LU macierzy wyznacznik będzie wynosił

\(\displaystyle{ \det{A}= \left(-1\right) ^{p}\prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)

p jest liczbą przestawień wierszy

Jeżeli chcesz sprowadzić macierz do postaci trójkątnej to zerować elementy możesz
za pomocą operacji elementarnych (tych co w eliminacji Gaussa)
albo możesz mnożyć macierz przez macierze ortogonalne (np obroty Givensa)
ODPOWIEDZ