Uzasadnij równość charakteryzującą proste równoległe

[act]

Uzasadnij, że w przestrzeni \(\displaystyle{ E(\mathbb{R} ^{2} )}\) proste o równaniach ogólnych \(\displaystyle{ a _{1}X+a _{2}Y=c}\), \(\displaystyle{ b _{1}X+b _{2}Y=d}\) są równoległe \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) \(\displaystyle{ a _{1}b _{2}=a _{2}b _{1}}\).

[Yaco_89]

To w zasadzie można zrobić po licealnemu, sprowadzając proste do postaci \(\displaystyle{ Y=aX+b}\), ale bardziej elegancko będzie jak spróbujesz wyznaczyć wektory rozpinające jedną i drugą prostą i wykazać, że są liniowo zależne \(\displaystyle{ \Leftrightarrow a _{1}b _{2}=a _{2}b _{1}}\). Te wektory łatwo da się wyznaczyć znajdując po 2 punkty należące do każdej z prostych.