mnożenie macierzy

[lofi]

Czy ktoś potrafi mi wyjaśnić dlaczego macierze mnoży się tak a nie inaczej?
Przykład:
... f434fa.png

Chodzi mi o to jaki jest sens w takim mnożeniu, z czego to wynika ze akurat tak się mnoży?

[miodzio1988]

Bo takie mnozenie macierzy ma pewne zastosowania (np przy rozwiazywaniu ukladow rownan). Osobiscie spotkałem się z innym mnozeniem macierzy, które było wykorzystywane w geodezji. Definicja zalezy od zastosowania w takim przypadku

[bleze]

przy rozwiązywaniu układów równań liniowych tworzy się macierze 2x2, więc do czego są macierze o innych wymiarach?

[miodzio1988]

przy rozwiązywaniu układów równań liniowych tworzy się macierze 2x2, więc do czego są macierze o innych wymiarach?

A to układ rownan musi miec 2 rownania? Od kiedy to? Mozesz miec nawet 1000 rownan i wtedy macierz bedzie innego rozmiaru

[Nakahed90]

przy rozwiązywaniu układów równań liniowych tworzy się macierze 2x2, więc do czego są macierze o innych wymiarach?

Nie tylko takie się tworzy. O większych wymiarach też są, zależy to od ilości równań i niewiadomych.

[lofi]

no to mam takie proste mnożenie:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&2\\1&4\end{array}\right]*3 = (12-2)*3=30}\)

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&2\\1&4\end{array}\right]*3 = \left[\begin{array}{ccc}9&16\\3&12\end{array}\right]=108-18=90}\)
\(\displaystyle{ A \neq A}\)
to nie możliwe więc co robię źle? dopiero zaczynam poznawać co to jest macierz więc nie dziwcie się że popełniam trywialne błędy

[Mariusz M]

lofi, W pierwszej linijce obliczyłeś wyznacznik i pomnożyłeś go przez 3
W drugim skąd się Tobie wzięła ta 16 no i znów liczysz wyznacznik

\(\displaystyle{ \det{ \left( \alpha \cdot A\right) }=\alpha^{n}\det{A}}\)


Po wymnożeniu powinieneś takie coś dostać

\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}3&2\\1&4\end{array}\right]*3 = \left[\begin{array}{ccc}9&6\\3&12\end{array}\right]}\)

To tak jakbyś mnożył

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&2 \\ 1&4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3&0 \\ 0&3 \end{bmatrix}}\)

i teraz mnemotechnicznie wiersz pierwszej macierzy przez kolumnę drugiej macierzy

[lofi]

ale ja się pytam skąd się wzięło takie mnożenie macierzy?
przecież to musi mieć jakiś sens, tak przypadkowo chyba to nie zostało ustalone?

[Wasilewski]

Każda macierz wyznacza pewne przekształcenie liniowe; chodzi o to, żeby iloczyn dwóch macierzy wyznaczał przekształcenie odpowiadające złożeniu przekształceń indukowanych przez te macierze.

[lofi]

Każda macierz wyznacza pewne przekształcenie liniowe; chodzi o to, żeby iloczyn dwóch macierzy wyznaczał przekształcenie odpowiadające złożeniu przekształceń indukowanych przez te macierze.

dzieki, ale niestety na moim poziomie ciężko mi z tego coś zrozumieć ;/ mógłbym prosić o jakieś łatwiejsze wyjaśnienie zwłaszcza tej ostatniej części zdania?

[Wasilewski]

Rozważmy dwie macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\); w oczywisty sposób odpowiadają im przekształcenia liniowe \(\displaystyle{ \varphi_{A}}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi_{B}}\). I teraz określamy iloczyn \(\displaystyle{ AB}\), żeby wyznaczonym przezeń przekształceniem było \(\displaystyle{ \varphi_{A} \circ \varphi_{B}}\).

[lofi]

a czy mógłbym prosić o jakiś przykład do tego? może wtedy bym coś więcej zrozumiał -- 18 maja 2010, o 19:38 --przepraszam, bo u nas na studiach tak marnie uczą (polibuda! ale wydział marny) że pomyślałem że tutaj na forum się więcej naucze, wykładowca jedzie na wykładach z materiałem jak szalony, byle by tylko najwięcej upakować na chama nie wyjaśniając po drodze co skąd się bierze... dla mnie porażka

żeby coś zrozumieć trzeba sięgnąć podstaw.
Dlatego chciałbym Was prosić o pomoc, od jakiej podstawowej rzeczy powinienem zacząć żeby dogłębnie zrozumieć sens macierzy?

[Onizuke]

Sam się z tym męczyłem chociaż egzamin zaliczyłem, dopiero niedawno to mniej więcej zrozumiałem przeglądając notatki na spokojnie. Też mi tak skąpo odpowiadali z początku.Żeby to w pełni zrozumieć to musisz pouczyć się o algebrze abstrakcyjnej czyli o działaniach oraz ich własnościach struktur na których są one wykonywane ( grupy, monoidy, tabaka calylego) a przede wszystkim o przestrzeniach. A teraz w skrócie.
Jeżeli masz jakąś przestrzeń, na przykład dwu wymiarową to masz pewne wektory bazowe, które da się wyrazić za pomocą pewnej kombinacji innych wektorów ( czyli innej bazy) Za pomocą wektorów bazowych jesteś w stanie opisać daną przestrzeń. Baza zawiera tylko wektory nie zależne, to znaczy takie, że żadnego z nich nie jesteś w stanie zastąpić przez kombinację pozostałych. Dla przykładu istnieje baza standardowa, którą myślę że dla przestrzeni dwu-wymiarowej zrozumiesz intuicyjnie. Baza ta składa się z dwóch wektorów v1 i v2.
\(\displaystyle{ \vec{v1}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{v2}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0&1\end{array}\right]}\)
Czyli układ kartezjański.
Czyli mamy bazę wektorów \(\displaystyle{ \vec{v}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}v1&v2\end{array}\right]}\)
Teraz to uogólnię.
Załóżmy że mamy bazę \(\displaystyle{ \vec{\alpha}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\alpha 1&\alpha 2\end{array}\right]}\)
i bazę \(\displaystyle{ \vec{\beta}}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}\beta 1&\beta 2\end{array}\right]}\)
Ponieważ baza \(\displaystyle{ \vec{\alpha}}\) i baza \(\displaystyle{ \vec{\beta}}\) są 2 różnymi bazami wektorowymi tej samej przestrzeni to istnieje zależność między tymi bazami. Wektory bazy \(\displaystyle{ \vec{\beta}}\) można zapisać za pomocą wektorów bazy \(\displaystyle{ \vec{\alpha}}\)czyli ich kombinacji liniowej. \(\displaystyle{ \vec{\beta 1}}\) = a11 \(\displaystyle{ \vec{\alpha 1}}\) 1 + a12 \(\displaystyle{ \vec{\alpha 2}}\) (pierwsza liczba oznacza że jest to współczynnik stojący przy odpowiednim wektorze \(\displaystyle{ \vec{\alpha}}\) a druga że współczynnik a tyczy się wektora \(\displaystyle{ \beta 1}\))

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} aij* \alpha i}\)
Teraz wystarczy to ładnie zapisać, najlepiej było by to zrobić tak: \(\displaystyle{ \vec{\alpha}}\) * \(\displaystyle{ \vec{A}}\) = \(\displaystyle{ \vec{\beta}}\) Gdzie A to powiedzmy tablica odpowiednio zapisanych współczynników aij

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \alpha 1&\alpha 2\end{array}\right]}\) * \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a11&a12\\a21&a22\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \beta 1&\beta 2\end{array}\right]}\)

_______________\(\displaystyle{ \vec{\beta 1}}\)____\(\displaystyle{ \vec{\beta 2}}\)
_______________/\_____/
_______________|______|
Po wymnożeniu tu ____ a tu taki
ma być taki wektor____ wektor
Czyli w macierzy A mamy 2 kolumny, kolumnę ax1 i kolumnę ax2 bo chcemy mieć po wymnożeniu tych dwuch macierzy dwa wektory \(\displaystyle{ \vec{\beta 1}}\) \(\displaystyle{ \vec{\beta 2}}\). Jeżeli chcieli byśmy mieć 3 wektory ( ten układ wektorów przestaje być bazą, bo jeden z nich można zapisać już za pomocą 2 pozostałych) to mielibyśmy 3 kolumny w macierzy A ale 2 wiersze, bo są to wektory 2- wymiarowe. Czyli mielibyśmy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \alpha 1&\alpha 2\end{array}\right]}\) * \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\end{array}\right]}\) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \beta 1&\beta 2& \beta 3\end{array}\right]}\)

Mam nadzieje, że to jakoś pomoże, jak będą jakieś błędy, zastrzeżenia czy pytania to proszę pytać sory za podkreślniki i strzałki ale nie mogłem znaleźć takich które by odpowiadały a jak stawiałem spacje to tekst był zwyczajnie przesuwany w lewą stronę tak, że nie było już akapitu

[BartekPwl]

A ja z kolei odeślę do literatury:)
A.I. Kostrikin "Wstęp do algebry, Część 1: Podstawy algebry". Nie powinieneś mieć problemu ze znalezieniem tej książki w uczelnianej bibliotece.
Rozdział 1, paragrafy 3 i 4 - powinno wystarczyć do zrozumienia co, po co i dlaczego.
Rozdział 2 - przeczytać w przypadku, gdy rozdział 1 okazał się jednak niezbyt satysfakcjonujący;)