Obrót w R3

[matematix]

Witam.
Mam wyprowadzić wzór na obrót względem osi y o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\). Ma ktoś jakiś pomysł?

[Stork]

z \(\displaystyle{ R^{3}}\) musisz przejść do \(\displaystyle{ R^{2}xC}\) i potem był jakiś wzór na to nie pamiętam dokładnie jaki :p na końcu znów się wracało na \(\displaystyle{ R^{3}}\). Może jutro jak nikt nie odpowie to znajdę chwilę czasu i Ci to rozpiszę

[Zordon]

Jeśli znasz wzór na obrót w \(\displaystyle{ R^2}\) to jest łatwo, wystarczy zobaczyć na co przechodzą wektory bazowe.

[matematix]

Zacząłem to robć tak:
\(\displaystyle{ e_{1}=[1,0,0], e _{1}'=[x',0,y']}\), bo współrzędna igrekowa się nie zmienia w obrocie wokół osi \(\displaystyle{ y}\). Teraz tak: \(\displaystyle{ e_{1} \circ e_{1}' =[1,0,0] \circ [x',0,y']=x'}\). Z drugiej strony \(\displaystyle{ e_{1} \circ e_{1}'= \left| e_{1} \right| \cdot \left| e_{1}' \right| \cdot cos \alpha=cos \alpha}\), stąd \(\displaystyle{ x'=cos \alpha}\). Teraz mam problem z wyliczeniem \(\displaystyle{ y'}\), mianowicie: \(\displaystyle{ cos ^{2}\alpha +(y') ^{2}=1 \Leftrightarrow (y') ^{2}=sin ^{2}\alpha \Leftrightarrow y'= \pm sin\alpha}\). Nie wiem jak określić znak... Stąd proszę o Wasze sugestie. Z góry dzięki.

[Zordon]

Znak należy określić tak aby macierz przekształcenia była izometrią i zachowywała orientację (tzn. wyznacznik powinien być 1). Ale moim zdaniem przekombinowałeś mocno.
Pewnie znasz wzór na obrót o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wokół \(\displaystyle{ (0,0)}\) w \(\displaystyle{ R^2}\). Macierz tego przekształcenia jest taka:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha \\
\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}}\)

Zatem przykładowo macierz obrotu wokół osi Z w \(\displaystyle{ R^3}\) wyglądałaby tak:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\
\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}}\)

Więc jak powinno być u Ciebie?

[matematix]

macierz obrotu względem y: \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} cos \alpha &0&-sin \alpha\\0&1&0\\sin \alpha&0& cos \alpha\end{pmatrix}}\). Dobrze?

[Zordon]

jasne, że tak