macierz schodkowa + tw capellego

[macko_19]

1.

głupie pytanie, ale mógłby ktoś na tamtych przykładach wytłumaczyć łopatologicznie jak się liczy rząd w macierzy schodkowej? czy chodzi o policzenie tych schodków, które zaznaczyłem niżej?



2. czy przy układach równań liniowych można korzystać tylko z działań na wierszach i nie można z Laplace'a skorzystać?

[miki999]

A znasz definicję rzędu macierzy? Liczenie tych schodków jest jedynie pewnym uproszczeniem.

2. czy przy układach równań liniowych można korzystać tylko z działań na wierszach i nie można z Laplace'a skorzystać?

To zależy. Jeżeli wykorzystujesz tw. Kroneckera-Capelliego to jedynie badasz rozwiązywalność układu (bo chyba to masz na myśli) i do obliczenia rzędu macierzy można to wykorzystać, tyle że jest to mało efektywne przy macierzy \(\displaystyle{ 6 \times 5}\).



Pozdrawiam.

[macko_19]

"Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną."

czyli dla jakich przypadków ograniczamy się do działania na wierszach, bo rozwiązuję równania liniowe sprawdzając metodą capellego ilość rozwiązań (czyli wyznacznik główny = 0 jeśli się nie mylę). na zajęciach robiliśmy przekształcenia tylko wierszy.

[miki999]

"Rozwiązując układ m równań liniowych z n niewiadomymi należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną."

Śmieszna formułka. Ja bym zapamiętał jedynie:

należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego.

W sumie to nie ma co kombinować, bo działania na wierszach są najbardziej skuteczną metodą. A rozwinięcia Laplace'a nie mają tu po prostu zastosowania (chyba że jedynie do spr. rzędu macierzy).



Pozdrawiam.

[macko_19]

to jeszcze jedno pytanie czy jeśli mam macierz 5x3 i obliczę, że wyznacznik jednej z 3 kwadratowych macierzy 3x3 = 0 , to wystarczający dowód, że macierz jest 2 rzędu (po oczywiśćei dodatkowym obliczeniu ,że wyznacznik 2x2 =/= 0). na zajęciach robiliśmy dość długie przekstzałcenia które skróciły macierz do postaci 2x3 i wtedy było oczywiste ,ale czy to jest konieczne?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&-16&|-5\\3&2&|4\\1&-4&|-1\\7&-10&|12\\5&6&|8\end{array}\right]}\)

[miki999]

i obliczę, że wyznacznik jednej z 3 kwadratowych macierzy 3x3 = 0 , to wystarczający dowód, że macierz jest 2 rzędu

Oczywiście, że nie.

Przykład:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&1&1\\0&1&0\\1&0&0\\0&0&1 \end{array}\right]}\)
ma rząd równy \(\displaystyle{ 3}\), mimo tego, że:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&1&1\\0&1&0 \end{array}\right|=0}\)

[macko_19]

a mógłbyś zerknąć na taki przykład
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&1&-1&|0\\-2&4&-1&1&|0\\3&-6&1&-1&|0 \end{array}\right]}\)
W3-3W1 i W2+2W1

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&-2&1&-1&|0\\0&0&1&-1&|0\\0&0&-2&2&|0 \end{array}\right]}\)


jak teraz postąpić? rozbić to na 2 macierze A i B i właśnie użyć Laplace'a? W tym przypadku R(A)=R(B) bo kolumnę zerową dla R(B) można zredukować?

[miki999]

Jak chcesz możesz już dochodzić do wniosków. Można również zrobić \(\displaystyle{ w_3+2w2, \quad w_1-w_2}\).

W tym przypadku R(A)=R(B) bo kolumnę zerową dla R(B) można zredukować?

Tak. Zauważ ponadto, że ten układ posiada na pewno co najmniej 1 rozwiązanie- tzw. trywialne (czyli zerowe).