Sprzężenie Hermitowskie operatora.

[teqnick]

Mam do policzenia sprzężenie Hermitowskie operatora \(\displaystyle{ x \frac{d}{dx}}\)
Zrobiłem przez pewną analogię coś takiego, jednak intuicja mówi mi, że coś jest w pewnym momencie nie tak. Czy mógłby mi ktoś powiedzieć co robię tutaj źle?
Staram się to zrozumieć, jednak mało przykładów tego typu zadań moża znaleźć przez co jest to nieco problematyczne.

\(\displaystyle{ \langle a \mid x \frac{d}{dx} \mid b \rangle=\int_{V}\overline{a} (x \frac{db}{dx})dx}\)
\(\displaystyle{ \langle a|x \frac{d}{dx} \mid b \rangle=\overline{a} b |_{\partial V} -\int_{V}b (\overline{x \frac{da}{dx}})dx}\)
\(\displaystyle{ \langle a \mid x \frac{d}{dx} \mid b \rangle = \int_{V}b (-x \overline{\frac{da}{dx}})dx}\)
\(\displaystyle{ \langle a \mid x \frac{d}{dx} \mid b \rangle=\overline{\langle b \mid -x \frac{d}{dx} \mid a \rangle}}\)

[shvedeq]

prowadźmy oznaczenia:
\(\displaystyle{ Q \psi = x \psi \\ P \psi =\frac{d}{dx} \psi}\)
Zobaczmy jak działa
\(\displaystyle{ (QP)^{*}}\)
na funkcji \(\displaystyle{ \psi}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ (QP)^{*} (\psi)=(P^{*} Q^{*})(\psi)=(PQ)(\psi)=P(Q \psi)=\frac{d}{dx} (x \psi)=\psi + x \frac{d}{dx} \psi}\)
Ponieważ powyższy ciąg równości jest prawdziwy dla dowolnej funkcji \(\displaystyle{ \psi}\) więc ostatecznie mamy:
\(\displaystyle{ (x \frac{d}{dx})^{*}=1 + x \frac{d}{dx}}\)