przekształceia liniowe.

[Smażony Ogórek]

Operator liniowy \(\displaystyle{ L \in L(V )}\) , który ma własność \(\displaystyle{ L^2 = L}\) nazywamy idempotentnym. Wykazać, że każde przekształcenie idempotentne \(\displaystyle{ L}\) jest rzutem przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) na pewną jej podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\), równoległym do pewnej podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\), gdzie \(\displaystyle{ L: V \rightarrow V}\) i \(\displaystyle{ V=U \oplus W}\).

[Qń]

Wskazówka - pokaż, że:
a) dla \(\displaystyle{ v \in Im L}\) jest \(\displaystyle{ L(v) = v}\)
b) \(\displaystyle{ W = kerL \oplus ImL}\)
c) \(\displaystyle{ L}\) jest rzutem na \(\displaystyle{ Im L}\) wzdłuż \(\displaystyle{ ker L}\) (równoległym do \(\displaystyle{ ker L}\))

Q.