\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
znaleźć rozkład \(\displaystyle{ LU}\) tej macierzy i wykorzystać go do obliczenia wyznacznika macierzy \(\displaystyle{ A}\)
:]
Pozdrawiam.
Rozkład LU macierzy- znaleźć wyznacznik
-
miodzio1988
Rozkład LU macierzy- znaleźć wyznacznik
\(\displaystyle{ r_{2} - r_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{3} - r_{1}}\)
\(\displaystyle{ L_{1}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{1} \cdot A = \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}= A_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{3} -2 r_{2}}\)
\(\displaystyle{ L_{2}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} = L_{2}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} =U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot L _{1} \cdot A =U}\)
\(\displaystyle{ L= L^{-1} _{1} \cdot L^{-1} _{2}=...}\)
doliczyc trzeba;] I mamy rozklad.
\(\displaystyle{ DetA=DetU=1}\)
Cos takiego?
\(\displaystyle{ r_{3} - r_{1}}\)
\(\displaystyle{ L_{1}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\-1&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{1} \cdot A = \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&2&5\end{bmatrix}= A_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{3} -2 r_{2}}\)
\(\displaystyle{ L_{2}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} = L_{2}= \begin{bmatrix} 1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot A _{1} =U}\)
\(\displaystyle{ L_{2} \cdot L _{1} \cdot A =U}\)
\(\displaystyle{ L= L^{-1} _{1} \cdot L^{-1} _{2}=...}\)
doliczyc trzeba;] I mamy rozklad.
\(\displaystyle{ DetA=DetU=1}\)
Cos takiego?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozkład LU macierzy- znaleźć wyznacznik
Ja to tak rozkładam
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
Pierwszy wiersz przepisuję bez zmian a pierwszą kolumnę dzielę przez element podstawowy
(element o największej wartości bezwzględnej w kolumnie poniżej głównej przekątnej)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
Obliczam uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}= a_{ij}-a_{ik} \cdot a_{kj}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&2\\1&2&5\end{bmatrix}}\)
I jeżeli ma to być rozkład LU z częściowym wyborem elementu podstawowego to
zamieniam wiersze
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&5\\1& \frac{1}{2} &2\end{bmatrix}}\)
Obliczam uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&5\\1& \frac{1}{2} &- \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
Ponieważ raz zamieniałem wiersze to
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right)^{1} \prod_{i=1}^{3} lu_{ii}}\)
\(\displaystyle{ L= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0\\1& \frac{1}{2}&1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ U= \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&2&5\\0&0&- \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
Pierwszy wiersz przepisuję bez zmian a pierwszą kolumnę dzielę przez element podstawowy
(element o największej wartości bezwzględnej w kolumnie poniżej głównej przekątnej)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&3\\1&3&6\end{bmatrix}}\)
Obliczam uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}= a_{ij}-a_{ik} \cdot a_{kj}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&2\\1&2&5\end{bmatrix}}\)
I jeżeli ma to być rozkład LU z częściowym wyborem elementu podstawowego to
zamieniam wiersze
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&5\\1& \frac{1}{2} &2\end{bmatrix}}\)
Obliczam uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&5\\1& \frac{1}{2} &- \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
Ponieważ raz zamieniałem wiersze to
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right)^{1} \prod_{i=1}^{3} lu_{ii}}\)
\(\displaystyle{ L= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0\\1& \frac{1}{2}&1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ U= \begin{bmatrix} 1&1&1 \\ 0&2&5\\0&0&- \frac{1}{2} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ P= \begin{bmatrix} 1&0&0 \\0&0&1\\ 0&1&0 \end{bmatrix}}\)