Witam.
Czy poprawnie wyznaczyłem współrzędne wektora w bazie sprzężonej?
Niech dana będzie przestrzeń V(K). Baza przestrzeni V: \(\displaystyle{ e_{1}, e_{2}, ..., e_{n}}\). Wówczas \(\displaystyle{ x = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} * e_{i}}\).
Niech \(\displaystyle{ f:V \rightarrow K}\)
\(\displaystyle{ f(x) = f(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} * e_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} * f(e_{i}) = \sum_{i=1}^{n} f(e_{i}) * e_{i}^{*}(x)}\)
ostatnia zamiana wzięła się stąd:
\(\displaystyle{ e_{i}^{*}(x) = e_{i}^{*}(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} * e_{i}) = \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} * e_{i}^{*}(e_{i}) = \alpha_{i}}\)
Więc współrzędnymi wektora będą \(\displaystyle{ f(e_{1}), f(e_{2}), ..., f(e_{n})}\) ?