Wykaż ze odwzorowanie f jest izometrią

[kaczor13134]

jeżeli \(\displaystyle{ f=\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ \left( x,y \right) \in}\) \(\displaystyle{ \mathbb{R} ^{2}\ : f \left( x,y \right) = \left( \frac{1}{2}x -\frac{ \sqrt{3} }{2}y-2 ,\frac{ \sqrt{3} }{2}x + \frac{1}{2}y+1 \right)}\)

Byłbym wdzięczny za pomoc bo nie wiem jak do tego podejść...

[miki999]

Wiesz co to oznacza, że jest izometrią?

[kaczor13134]

Izometria, w geometrii każde przekształcenie geometryczne przestrzeni (lub płaszczyzny) zachowujące odległość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami, np. symetria osiowa lub punktowa ale co to oznacza ze jest to nie wie m

[miki999]

Oznacza to jedynie tyle, że jeżeli masz powiedzmy przekształcenie przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) w przestrzeń \(\displaystyle{ W}\), to odległość pomiędzy dowolnymi dwoma elementami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) z \(\displaystyle{ V}\) jest identyczna jak \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) z \(\displaystyle{ W}\) (gdzie \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest obrazem odpowiednio pkt. \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) względem danego odwzorowania).


Mam nadzieję, że nie namotałem

[kaczor13134]

tylko ze ja mam tu przekształcenie \(\displaystyle{ R^2}\) w \(\displaystyle{ R^2}\), więc nic w przestrzeniach nie zmieniam i są takie same, więc jak do tego podejść?

[miki999]

Jaka jest odległość dwóch dowolnych rozważanych obiektów z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)?

Teraz musisz wykazać, że po przekształceniu odległość tych dwóch pkt. nie zmieniła się.

Masz już może pomysł?

[kaczor13134]

moim zadaniem trzeba udowodnic ze proste są rownoległe, na poczatek wyznaczyc z kazdych prosta o rownaniu z tym ze wartosci x to jest prosta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)x ... i analogicznie w y ?

[miki999]

Nie.

Bierzemy dowolne dwa pkt. z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\): \(\displaystyle{ A=(x_1,y_1),\ B=(x_2,y_2)}\). Ich odległość wynosi:
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\)
Natomiast \(\displaystyle{ A'=(\frac{1}{2}x_1 -\frac{ \sqrt{3} }{2}y_1-2 ,\frac{ \sqrt{3} }{2}x_1 + \frac{1}{2}y_1+1),\ B'=(\frac{1}{2}x_2 -\frac{ \sqrt{3} }{2}y_2-2 ,\frac{ \sqrt{3} }{2}x_2 + \frac{1}{2}y_2+1)}\)
Zatem: \(\displaystyle{ |A'B'|=...}\)
Twoim zadaniem jest udowodnić, że \(\displaystyle{ |AB|=|A'B'|}\)

[kaczor13134]

poniekad rozumiem z tym ze jak wyliczyc |A'B'| gdy w \(\displaystyle{ x{1}}\) sa x i y w tym

[miki999]

W każdym pkt. masz 2 współrzędne. Jak się liczy odległość pkt. wiesz. A czy tam występuje iks, ygrek czy słonik z trąbką, to nie ma większego znaczenia.

[kaczor13134]

a te przyjęte w punktach A i B iksy i ygreki wstawiam później do |A'B'| zeby obliczyc wartosc czy |AB| pozostawiam na wzorach i |A'B'| tez na wzorach i porownuje strony (usuwajac pierwiastek poprzez potege po obu stronach) z tego dostaje rownania poprostu gotowe rownania do przekszatałcenia?

[Qń]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ f}\) jest złożeniem obrotu o \(\displaystyle{ 60^o}\) i przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [-2,1]}\) (a obrót i przesunięcie to oczywiście izometrie).

Q.

[robbsson]

a jak wykazać, że przesunięcie to izometria? to jak obrót to wiem:/

aż wstyd pytać.. już wszystko wiem;/