Wektory-przestrzeń unitarna zad

[siernieczka]

X-przestrzen unitarna rzeczywista.wykazac ze dla dowolnych wektorow x,y warunek ||x+y||=||x-y|| jest równowazny temu, że x jest prostopadłe do y(jest wtedy gdy <x,y>=0).prosze o pomoc

[max]

\(\displaystyle{ \|x + y\| = \|x - y\|\iff \|x + y\|^{2} = \|x - y\|^{2}}\)

Ale
\(\displaystyle{ \|x + y\|^{2} = \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y,y \rangle}\)
i podobnie:
\(\displaystyle{ \|x - y\|^{2} = \langle x - y, x - y \rangle = \langle x, x \rangle - 2\langle x, y \rangle+ \langle y,y \rangle}\)

Zatem nasza równość jest równoważna następującej:
\(\displaystyle{ 2\langle x,y\rangle = -2\langle x,y\rangle}\)
a to zachodzi dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle =0}\)

[siernieczka]

mam jeszcze jedno pytanie odnosnie iloczynow skalarnych, mam sprawdzić czy
\(\displaystyle{ a)S(z,w)=Re(z 1,w1)+Im(z2,w2) \\
b)S(z,w)=2z1w1-z1w2-z2w1+z2w2}\) [do b=> przy czym przy w1 i w2 jest sprzezenie]
czy są to iloczyny skalarne nad ciałem liczb zespolonych C^{2}

warunki mam podane w ten sposob:
\(\displaystyle{ 1)S(az+bw,v)=a*S(z,v)+b*S(w,v) [z=(z 1,z2, w=(w1,w2), v=(v1,v2) ] \\
2)S(z,w)=S(w,z)}\)[ do 2 warunku=>sprzezone jest to S(w,z)]\
\(\displaystyle{ 3)S(z,w) \ge 0,S(z,w)=0 \Leftrightarrow z=0}\)(wektor zerowy).

Mam też z tym kłopot i nie wiem kompletnie jak zrobić.dzieki za pomoc

w ogole mi nie wychodza te przyklady bo nie rozumiem w b jak mam zrobic te sprzezenia [przy sprawdzaniu warunku 2 i 3] i w a jak postąpic z czescia rzeczywista i zespoloną [w warunku 2 i 3 tak samo].