Baza podprzestrzeni

[M?ody1990]

Kolejny problem z podprzestrzeniami wektorowymi. Mam kilka podobnych do siebie zadań z którymi mam problem, więc napiszę jedno przykładowe.
Dla jakiej wartości parametru \(\displaystyle{ p \in R}\) wektory:
\(\displaystyle{ x_{1}=(1,2+p,1), x_{2}=(2,3+p,3+p), x_{3}=(p+1,-p-1,0)}\) nie tworzą bazy przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}(R)}\)?
Myślałem w ten sposób: baza to maksymalny i liniowo niezależny układ. Układ skladający się z 3 wektorów jest maksymalny w tej przestrzeni, zatem trzeba sprawdzić, dla jakich wartości p układ jest liniowo zależny. No i tu pojawia sie pojawia się problem.

[JankoS]

Można zbadać dla jakich p wartość wyznacznika utworzonego z tych wektorów jest 0.

[M?ody1990]

Aha, tylko jak te wektory wpisac w macierz?

[scyth]

Nie ma znaczenia czy wpiszesz je pionowo czy poziomo.

[M?ody1990]

Zrobiłem tak jak mówiliście. Wyznacznik macierzy W wyszedł mi \(\displaystyle{ p^{3}+5 p^{2}+5p+1}\). Wyznacznik jest równy zero dla \(\displaystyle{ p=-1 \vee p=-2- \sqrt{3} \vee p=-2+ \sqrt{3}}\). A w odpowiedzi do tego zadania jest, że p=-1 lub p=-4. Gdzie jest błąd?

[JankoS]

Chyba się Kolega pomylił przy liczeniu wyznacznika.
Rozwijając wg trzeciej kolumny mamy
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&2+p&1\\2&3+p&3+p\\p+1&-p-1&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3+p\\p+1&-p-1\end{vmatrix}-(3+p)\begin{vmatrix} 1&2+p\\2&3+p\end{vmatrix}=-2(p+1)-(p+1)(p+3)+(p+3)(p+1)=-2(p-1).}\)