Witam,
czy mógłby mi ktoś pomóc i wyjaśnić jak obliczać wyznaczniki macierzy? Szukałem w google (i nie tylko) ale jakoś to jest dla mnie niezrozumiałe nadal... Zwykle przykłady są na 2-3 wiersze/kolumny, a w moich zadaniach występuje ich po 4 i więcej, więc mam problem z przekształceniem...
Przykładowy macierz, do jakiego mam policzyć wyznacznik (byłbym bardzo szczęśliwy, gdyby ktoś na nim właśnie wyjaśnił mi krok-po-kroku jak to się liczy):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1/3&1/4&1/5\\1/3&1/4&1/5&1/6\\1/4&1/5&1/6&1/7\end{array}\right]}\)
Ps. mam wspomniane też twierdzenie cramera przy tym, ale kompletnie go nie rozumiem
Wyznaczniki macierzy
-
WarBringer
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 11 mar 2010, o 20:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyznaczniki macierzy
Wyznacznik najlepiej policzyć za pomocą eliminacji Gaussa
lub jakiegoś rozkładu macierzy np LU
Rozkład LU
Szukasz w kolumnie (poniżej głównej przekątnej)
elementu o największej wartości bezwzględnej
Jeśli znajdziesz zamieniasz wiersze (zliczasz też ilość zamian wierszy )
Jeżeli na głównej przekątnej jest zero i
nie znajdziesz elementu o większej wartości bezwzględnej to wyznacznik wynosi zero
Pierwszy wiersz przepisujesz bez zmian a elementy kolumny (poniżej głównej przekątnej)
dzielisz przez element znajdujący się na głównej przekątnej
Do pozostałych elementów stosujesz uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1}a_{1j}}\)
Powyższe kroki powtarzasz ale już dla mniejszej macierzy
Wyznacznik będzie równy
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
p - ilość zamian wierszy
Powyższą metodę można stosować ponieważ prawdziwe jest równanie
\(\displaystyle{ \det{ \left(AB \right) }=\det{A} \cdot \det{B}}\)
Metoda eliminacji Gaussa polega na przekształceniu macierzy
do postaci dolnotrójkątnej lub górnotrójkątnej
Wyznacznik wynosi wtedy podobnie jak w metodzie rozkładu macierzy
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
p - ilość zamian wierszy
Możesz także za pomocą rozkładu SVD obliczyć wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) i-ta wartość własna macierzy
Metoda eliminacji Gaussa oraz rozkładu macierzy należą
do tych szybszych metod obliczania wyznacznika
Możesz także zastosować rozwinięcie Laplace
Korzystanie bezpośrednio z rozwinięcia Laplace
jest dość czasochłonne dlatego najlepiej sprawdza się
w połączeniu z operacjami elementarnymi
Co do twierdzenia Cramera czy raczej wzorów Cramera
to weź układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi
i rozwiąż go metodą przeciwnych współczynników
Co otrzymasz ?
lub jakiegoś rozkładu macierzy np LU
Rozkład LU
Szukasz w kolumnie (poniżej głównej przekątnej)
elementu o największej wartości bezwzględnej
Jeśli znajdziesz zamieniasz wiersze (zliczasz też ilość zamian wierszy )
Jeżeli na głównej przekątnej jest zero i
nie znajdziesz elementu o większej wartości bezwzględnej to wyznacznik wynosi zero
Pierwszy wiersz przepisujesz bez zmian a elementy kolumny (poniżej głównej przekątnej)
dzielisz przez element znajdujący się na głównej przekątnej
Do pozostałych elementów stosujesz uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{i1}a_{1j}}\)
Powyższe kroki powtarzasz ale już dla mniejszej macierzy
Wyznacznik będzie równy
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
p - ilość zamian wierszy
Powyższą metodę można stosować ponieważ prawdziwe jest równanie
\(\displaystyle{ \det{ \left(AB \right) }=\det{A} \cdot \det{B}}\)
Metoda eliminacji Gaussa polega na przekształceniu macierzy
do postaci dolnotrójkątnej lub górnotrójkątnej
Wyznacznik wynosi wtedy podobnie jak w metodzie rozkładu macierzy
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}a_{ii}}\)
p - ilość zamian wierszy
Możesz także za pomocą rozkładu SVD obliczyć wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) i-ta wartość własna macierzy
Metoda eliminacji Gaussa oraz rozkładu macierzy należą
do tych szybszych metod obliczania wyznacznika
Możesz także zastosować rozwinięcie Laplace
Korzystanie bezpośrednio z rozwinięcia Laplace
jest dość czasochłonne dlatego najlepiej sprawdza się
w połączeniu z operacjami elementarnymi
Co do twierdzenia Cramera czy raczej wzorów Cramera
to weź układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi
i rozwiąż go metodą przeciwnych współczynników
Co otrzymasz ?
-
krzysiek1
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 14 mar 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limburg
Wyznaczniki macierzy
Podany przyklad to macierz (4x4)
Masz tylko jedna pelna przekatna z lewej ku prawej.
Pelna przekatna zawiera w tym przypadku 4 wyrazy.
Dopisz z prawj strony I, II, i III kolumne.
W ten sposob uzyskasz cztery pelne przekatne po 4 wyrazy.
Mnoz po przekatnej i dodaj.
Czyli:
1x1/3x1/5x1/7 + 1/2x1/4x1/6x1/4 ( juz z przeniesionej I-szej kolumny) itd. jeszcze dwie przekatne.
Od uzyskanej sumy odejmuj kolejne iloczyny przekatnych liczonych z prawej ku lewej i tez od gory do dolu.
Uwazaj na zmiany znakow... Znowu cztery przekatne po cztery wyrazy.
I gotowe. A tu mozesz sprawdzic.
Wpisujesz macierz ( bez zadnych oznakowan, nrnalny ciag liczb z odstepami. i naciskasz na dole na
Determinante berechnen
... nanten.htm
Masz tylko jedna pelna przekatna z lewej ku prawej.
Pelna przekatna zawiera w tym przypadku 4 wyrazy.
Dopisz z prawj strony I, II, i III kolumne.
W ten sposob uzyskasz cztery pelne przekatne po 4 wyrazy.
Mnoz po przekatnej i dodaj.
Czyli:
1x1/3x1/5x1/7 + 1/2x1/4x1/6x1/4 ( juz z przeniesionej I-szej kolumny) itd. jeszcze dwie przekatne.
Od uzyskanej sumy odejmuj kolejne iloczyny przekatnych liczonych z prawej ku lewej i tez od gory do dolu.
Uwazaj na zmiany znakow... Znowu cztery przekatne po cztery wyrazy.
I gotowe. A tu mozesz sprawdzic.
Wpisujesz macierz ( bez zadnych oznakowan, nrnalny ciag liczb z odstepami. i naciskasz na dole na
Determinante berechnen
... nanten.htm
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Wyznaczniki macierzy
krzysiek1, To działa tylko dla macierzy \(\displaystyle{ 3 \times 3}\)
Oczywiście można sumować iloczyny po wszystkich permutacjach
(drugi indeks tworzy permutację)
Jeżeli ilość inwersji tej permutacji jest nieparzysta sumować należy
ten iloczyn ze zmienionym znakiem
Jeżeli ilość inwersji jest parzysta nie należy zmieniać znaku tego iloczynu
\(\displaystyle{ \det{A}= \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)
inaczej byłby to ślad macierzy
Ciach!
Proszę sobie darować tego typu komentarze.
miki999
Oczywiście można sumować iloczyny po wszystkich permutacjach
(drugi indeks tworzy permutację)
Jeżeli ilość inwersji tej permutacji jest nieparzysta sumować należy
ten iloczyn ze zmienionym znakiem
Jeżeli ilość inwersji jest parzysta nie należy zmieniać znaku tego iloczynu
Powinno byćmariuszm pisze: \(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)
\(\displaystyle{ \det{A}= \prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\)
inaczej byłby to ślad macierzy
Ciach!
Proszę sobie darować tego typu komentarze.
miki999