Rozwiązywalność układu równań.

[makkam121]

Sprawdź czy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+ \frac{1}{a}=b \\ b+ \frac{1}{b}=a \end{cases}}\)
posiada rozwiązanie. Jeżeli tak, to ile?

[bartek118]

Nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ a \neq 0}\) i \(\displaystyle{ b \neq 0}\)

Zatem
\(\displaystyle{ a^{2}+a=ab}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+b=ab}\)
Stąd
\(\displaystyle{ a^{2}+a=b^{2}+b}\)
oraz
\(\displaystyle{ a^{2}+a-b^{2}-b=0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)(a+b)+(a-b)=0}\)
\(\displaystyle{ (a-b)(a+b+1)=0}\)
Czyli \(\displaystyle{ a=b}\) lub \(\displaystyle{ a=-1-b}\)

Oczywiście dla \(\displaystyle{ a=b}\) otrzymujemy sprzeczność, czyli podstawiamy \(\displaystyle{ a=-1-b}\)
Otrzymujemy
\(\displaystyle{ b^{2}+b=(-1-b)b}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+b=-b-b^{2}}\)
\(\displaystyle{ b^{2}+b=0}\)
Stąd
\(\displaystyle{ b=1}\) lub \(\displaystyle{ b=0}\)
Oczywiście przypadek \(\displaystyle{ b=0}\) wykluczamy, a dla \(\displaystyle{ b=1}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ a=0}\).
Zatem ten układ nie ma rozwiązań

[makkam121]

Chwilka, z \(\displaystyle{ b^{2}+b=0}\) wychodzi przecież \(\displaystyle{ b=-1 \vee b=0}\). Nie mam racji?

[bartek118]

ajj, masz rację, przepraszam, ale wiesz, jak kontynuować rozumowanie