Witam, mógł by mi ktoś wytłumaczyć jak to się robi? Przekształcenie elementarne + Rozwinięcie Laplaca.
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{array}\right]}\)
Rozwinięcie Laplaca
-
miodzio1988
Rozwinięcie Laplaca
Doprowadzasz macierz do postaci trojkatnej gornejdolnej, a pozniej rozwijasz. Problem to? Wszystko na wiki jest
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwinięcie Laplaca
Jak sprowadzsz macierz do postaci trójkątnej górnej/dolnej
to już nie musisz stosować rozwinięcia Laplace
Wybierz sobie dowolną kolumnę (wiersz) i wyzeruj ją za pomocą operacji elementarnych
zostawiając w niej tylko jeden element
Gdy będziesz miał jeden element to wtedy zastosuj rozwinięcie Laplace
Operacje elementarne
1. Dodanie kolumny (wiersza) do innej kolumny (wiersza)
2. Zamiana kolumn (wierszy) zmienia znak wyznacznika
w połączenu z rozwinięciem Laplace praktycznie nie będzie używana
3. Pomnożenie kolumny (wiersza) przez skalar powoduje pomnożenie wyznacznika przez ten skalar
Jeżeli kolumna (wiersz) jest zerowa lub jest kombinacją liniową innych kolumn (wierszy)
wyznacznik jest równy zero
Wyznacznik macierzy trójkątnej (górnej lub dolnej) jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej
Nie musisz sprowadzać macierzy do postaci trójkątnej skoro możesz stosować rozwinięcie Laplace
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\-2&5&0&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\ \frac{5}{2} &4&0& \frac{1}{2} \\-2&5&0&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left(-1 \right) ^{2+3} \cdot \left( -2\right) \det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{5}{2} &4& \frac{1}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{5}{2} &4& \frac{1}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{21}{2} &0& \frac{21}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{21}{2} &0& \frac{21}{2} \\8&0& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left(-1 \right) ^{1+2} \cdot \left(-2 \right) \cdot 2\det{\left[\begin{array}{cc} \frac{21}{2} & \frac{21}{2} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 4\det{\left[\begin{array}{cc} \frac{21}{2} & \frac{21}{2} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 4\det{\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{21}{32} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{1+2} \cdot 8 \cdot 4\det{\left[\begin{array}{c} \frac{21}{32} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ -32\det{\left[\begin{array}{c} \frac{21}{32} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ -32 \cdot \frac{21}{32} =-21}\)
to już nie musisz stosować rozwinięcia Laplace
Wybierz sobie dowolną kolumnę (wiersz) i wyzeruj ją za pomocą operacji elementarnych
zostawiając w niej tylko jeden element
Gdy będziesz miał jeden element to wtedy zastosuj rozwinięcie Laplace
Operacje elementarne
1. Dodanie kolumny (wiersza) do innej kolumny (wiersza)
2. Zamiana kolumn (wierszy) zmienia znak wyznacznika
w połączenu z rozwinięciem Laplace praktycznie nie będzie używana
3. Pomnożenie kolumny (wiersza) przez skalar powoduje pomnożenie wyznacznika przez ten skalar
Jeżeli kolumna (wiersz) jest zerowa lub jest kombinacją liniową innych kolumn (wierszy)
wyznacznik jest równy zero
Wyznacznik macierzy trójkątnej (górnej lub dolnej) jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej
Nie musisz sprowadzać macierzy do postaci trójkątnej skoro możesz stosować rozwinięcie Laplace
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\2&3&-6&-3\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\-2&1&3&-1\\-2&5&0&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \det{\left[\begin{array}{cccc}4&-2&0&5\\3&2&-2&1\\ \frac{5}{2} &4&0& \frac{1}{2} \\-2&5&0&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left(-1 \right) ^{2+3} \cdot \left( -2\right) \det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{5}{2} &4& \frac{1}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{5}{2} &4& \frac{1}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{21}{2} &0& \frac{21}{2} \\-2&5&-5\end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 2\det{\left[\begin{array}{ccc}4&-2&5\\ \frac{21}{2} &0& \frac{21}{2} \\8&0& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left(-1 \right) ^{1+2} \cdot \left(-2 \right) \cdot 2\det{\left[\begin{array}{cc} \frac{21}{2} & \frac{21}{2} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 4\det{\left[\begin{array}{cc} \frac{21}{2} & \frac{21}{2} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ 4\det{\left[\begin{array}{cc} 0 & \frac{21}{32} \\8& \frac{15}{2} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ \left( -1\right) ^{1+2} \cdot 8 \cdot 4\det{\left[\begin{array}{c} \frac{21}{32} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ -32\det{\left[\begin{array}{c} \frac{21}{32} \end{array}\right]}=}\)
\(\displaystyle{ -32 \cdot \frac{21}{32} =-21}\)