iloczyn wektorowy w R^4

[Emiel Regis]

W zasadzie to pytam o iloczyny wektorowe w \(\displaystyle{ R^4 - R^7}\).
Bo doczytałem, że dla wyższych wymiarów nie istnieją. No i teraz dwa pytania.
1. Czemu tylko dla wymiarów 2-7 się określa taki iloczyn?
2. No i jak go liczyć.

Prosze o nieodsyłanie mnie do stron po angielsku.

[Arek]

Odpowiedź 1: Oczywiście iloczyn wektorowy da się określić w \(\displaystyle{ R^n}\) dla n naturalnych większych od 1.

Odpowiedż 2: A jaka jest definicja iloczynu wektorowego? Ja znam coś takiego: masz daną przestrzeń euklidesową R^n z iloczynem skalarnym . No i teraz mając układ n-1 wektorów (liniowo niezależnych?) ich iloczyn wektorowy to:

1. Wektor o długości równej objętości równoległościanu rozpiętego na owych n-1 wektorach.
2. Prostopadły do wyżej wymienionych (wedle ).
3. No i zorientowany zgodnie z bazą R^n.

Nie sądzę, by to była definicja najbardziej ogólna, ale już pozwala wyznaczać ów iloczyn.

Nie ma tu żadnych ograniczeń, procedura jest standardowa: wyznaczasz przestrzeń prostopadłą do n-1 wektorów z R^n i tworzysz wektor o odpowiedniej długości i zorientowaniu. Nie ma tu żadnych dodatkowych cudów, choć sama praca bywa karkołomna.

A jak?

a) Mając wektory obliczasz objętość równoległościanu rozpiętego na nich (pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama tych wektorów)

b) Tworzysz przestrzeń prostopadłą do n-1 wektorów w R^n, a więc np. opisujesz ją układem równań i wyznaczasz bazę (jeden wektor)

c) Odpowiednio go wydłużasz do wyznaczonej objętości.

d) Orientujesz zgodnie z bazą R^n

[Emiel Regis]

No i teraz mając układ n-1 wektorów (liniowo niezależnych?)

Myslę że muszą one być niezależne, inaczej iloczyn wynosiłby zero.
Rozumiem że jeśli mamy n wymiarów to nie da się określić iloczynu wektorowego np n-2 wektorów? wtedy zdaje się że wynik takiego działania nie byłby jednoznaczny...

a) Mając wektory obliczasz objętość równoległościanu rozpiętego na nich (pierwiastek z wyznacznika macierzy Grama tych wektorów)

hmm.. czyli np w \(\displaystyle{ R^4}\) obliczając iloczyn wektorowy otrzymamy wektor o długości równej objetości równoległościanu zbudowanego na tych trzech wektorach?
Bo nasuwa mi się analogia wtedy do iloczynu mieszanego, mogłoby zachodzić coś takiego:
\(\displaystyle{ || \vec{a} \vec{b} \vec{c}||_{R^4} = ||( \vec{a} \vec{b}) \circ \vec{c}||_{R^3}}\)
?

Jeszcze jakbyś mógł się odnieść do czegoś takiego:
The cross product can not be extended to a dimension higher than 7, since the cross products are closely linked to composition algebras, of which the octonions are the largest.
w/w cytat pochodzi z anglojęzycznej wikipedii, hasło cross product.

[Mapedd]

a ja poszukuje wzoru dla dowolnego n, zna ktos moze?