Rząd macierzy

[paoloscmg]

Witam was wszystkich serdecznie. Mam bardzo wymagającego profesora i zadał nam zadanie i rzędzie macierzy.
Wyznacz rząd macierzy A
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 & -1 & -2 \\
1 & -2 & -3 & -3 & 3 \end{bmatrix}}\)
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać i proszę was o pomoc

[gohanka]

Rzędem macierzy nazywamy (poniższe definicje sa równoważne):

• liczbę niezerowych wierszy, po przekształceniu macierzy do postaci schodkowej,
• albo liczbę kolumn podstawowych w oryginalnej macierzy,
• albo liczbę liniowo niezależnych wektorów, których współrzędne w pewnej bazie
  stanowią kolumny macierzy,
• albo liczbę liniowo niezależnych wektorów, których współrzędne w pewnej bazie
  stanowią wiersze macierzy.
• albo wymiar największego niezerowego minora macierzy

Prawdopodobnie uczyłeś się obliczać wyznaczniki i minory, więc polecam ostatnią metodę.
Najpierw oblicz wyznacznik macierzy. W tym przypadku, ponieważ jest to macierz 3x5, wyznacznik będzie 3x3. Zatem 3 jest największym możliwym rzędem macierzy. Jeżeli ten wyznacznik wynosi 0, musisz szukać minorów 2x2, które dadzą niezerowe rozwiązanie. Itd.

[paoloscmg]

Regule znam, ale ta macierz za kazdym razem niechce mi wyjsc.-- 2 mar 2010, o 13:10 --Skad bede wiedziec na koncu ktory to rzad?

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&2&1&2\\3&2&1&-1&-2\\1&-2&-3&-3&3\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ w_{2}-3w_{1}, w_{3}-w_{1} = \begin{bmatrix}1&2&2&1&2\\0&-4&-5&-4&-8\\0&-4&-5&-4&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ w_{3}-w_{2} = \begin{bmatrix}1&2&2&1&2\\0&-4&-5&-4&-8\\0&0&0&0&9\end{bmatrix}}\)

Po przekształceniu do postaci schodkowej (otrzymaliśmy 3 schodli), żaden z wierszy nie jest całkowicie zerowy więc RZ=3

[gohanka]

Regule znam, ale ta macierz za kazdym razem niechce mi wyjsc.

-- 2 mar 2010, o 13:10 --

Skad bede wiedziec na koncu ktory to rzad?

trzeba spróbować z różnymi wyznacznikami 3x3.

np. ten
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2\\ 3 & 2 & 1\\ 1 & -2 & -3\end{bmatrix}}\)

wynosi zero, ale już ten:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 1 & 2 \\1 & -1 & -2 \\-3 & -3 & 3 \end{bmatrix}}\)

wynosi -27.

To, że wyznacznik jednego minora wynosi zero niczego nie przesądza o rzędzie macierzy. Jeśli WSZYSTKIE minory 3x3 wynosiłyby ZERO, wtedy rząd macierzy na pewno NIE JEST równy 3. Trzeba wtenczas sprawdzić minory 2x2.

W naszym przypadku jeden z minorów 3x3 nie jest równy 0 (bo wynosi -27), stąd wniosek, że rząd macierzy = 3.

[paoloscmg]

dziękuję bardzo agulka1987:):) Właśnie taki sam wynik mi wyszedł więc na pewno jest dobrze:)

A jesli mogłabym jeszcze prosić o pomoc w obliczeniu układu równań z parametrem metoda macierzowa:

ax + y=3
2x - 3y=-4
3x -y= a ^{2}-- 2 mar 2010, o 20:48 --Czy wystarczy :

\(\displaystyle{ \left[ a 1 3 \right]
\left[ 2 -3 -4 \right]
\left|3 -1 1 \right]}\) i obliczyc z tego det A