Wektory liniowo niezależne/zależne. Podprzestrzeń liniowa.

[Kramarz]

Witam, Mam nie lada problem z tego typu zadaniami, nie mam pojecia jak sie za nie wogole zabrac. Mogłby ktoś jak chłop krowie na rowie wytlumaczyc mi jak sie takie zadania rozwiązuje?


Czy wektory (1,2,3,0), (0,0,-1,2), (0,1,1,1), są liniowo niezależne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)

Co do tego zadania to wiem że musze te wektory wpisać w macierz. Poziomo. Dalej bodajrze nie jestem pewien czy dobrze pamietam, ale coś było z wyznacznikiem. Ale co to znaczy że maja byc niezależne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)? Totalnie nie rozumiem co to znaczy.

Czy zbiór \(\displaystyle{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 = 1}}\) jest podprzestrzenią liniową w\(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)

A co do tego zadania to totalna ciemnota.. nie mam najmniejszego pojęcia. Jedyne co sie moge domyślać to że jest to związane z macierzami. Gdyż uczę sie do poprawy kolokwium, ktore głównie obejmowało macierze.

Liczę na szybką pomoc. Pozdrawiam!

[JankoS]

Raczej liczyłbym na znajomość definicji.
\(\displaystyle{ a(1,2,3,0)+b(0,0,-1,2)+c(0,1,1,1)=(a,2a+c,3a-b+c,2b+c)=(0,0,0,0) \Leftrightarrow a=b=c=0}\),
co oznacza, że te wektory są liniowo niezależne.
Zbiór \(\displaystyle{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 = 1}}\) ne jest podprzestrzenią, bo nie należy do niego wektor zerowy.

[Kramarz]

Raczej liczyłbym na znajomość definicji.
\(\displaystyle{ a(1,2,3,0)+b(0,0,-1,2)+c(0,1,1,1)=(a,2a+c,3a-b+c,2b+c)=(0,0,0,0) \Leftrightarrow a=b=c=0}\),
co oznacza, że te wektory są liniowo niezależne.
Zbiór \(\displaystyle{ {(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 = 1}}\) ne jest podprzestrzenią, bo nie należy do niego wektor zerowy.

Co do pierwszego zadania to zakapowałem Chyba.. Aby się upewnić to postaram się tą metodą co ty rozwiazac takie zadanie z tymi wektorami:
\(\displaystyle{ (1,0,2), (-1,3,4), (5,-2,1)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ a(1,0,2)+b(-1,3,4)+c(5,-2,1)=(0,0,0)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a-b+5c=0 \\
3b-2c=0 \\
2a+4b+c=0
\end{cases}}\)

z 2 rownania:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
3b=2c \\
b=\frac{2}{3}c
\end{cases}}\)

z 1 równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a-\frac{2}{3}c+5c=0 \\
a=\frac{13}{3}c
\end{cases}}\)

i z 3 równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{26}{3}c+\frac{8}{3}c+c=0 \\
\frac{37}{3}c=0
\end{cases}}\)

I co teraz? O.o co to oznacza?

A co do drugiego zadania, to prosił bym o dokładniejsze wytłumaczenie, ponieważ nic mi to nie mówi..

[gohanka]

cd. równania...

nie umiesz podzielić zera przez ułamek? c=0, a więc a= 0 oraz b=0.

to oznacza, że tylko przy rozwiązaniu "trywialnym", czyli przy a, b, c = 0 te wektory tworzą bazę w R3. to oznacza, że wektory te nie są liniowo zależne, czyli żadna kombinacja liniowa tych wektorów nie wynosi (0, 0, 0) (na chłopski rozum to oznacza, że nie wracają to pktu wyjścia...)

[Kramarz]

cd. równania...

nie umiesz podzielić zera przez ułamek? c=0, a więc a= 0 oraz b=0.

to oznacza, że tylko przy rozwiązaniu "trywialnym", czyli przy a, b, c = 0 te wektory tworzą bazę w R3. to oznacza, że wektory te nie są liniowo zależne, czyli żadna kombinacja liniowa tych wektorów nie wynosi 0 (na chłopski rozum to oznacza, że nie wracają to pktu wyjścia...)

O kurde! HAH! Ale babola walnąłem! No nie wierze! Dzieki na naprostowanie, heh. To już zmęczenie umysłu chyba.

No dobra, to pierwsze już zajarzyłem, doczytałem także że gdy mamy do czynienia z \(\displaystyle{ n}\) wektorami z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\) możemy stosować metodę z ułożeniem macierzy z tych wektorów i wyliczeniem Wyznacznika, i jeżeli jest rożny od 0 to wektory są liniowo niezależne

Okay. To jeszcze drugie zadanie jak by ktoś mógł po ludzku wytłumaczyć to będę wdzięczny

[JankoS]

A co do drugiego zadania, to prosił bym o dokładniejsze wytłumaczenie, ponieważ nic mi to nie mówi..

Jeszcze raz definicja albo własności (w zależności od sposobu wprowadzania) przestrzeni wektorowej . Podprzestrzeń jest też przestrzenią, więc musi zawierać wektor zerowy.
Tutaj \(\displaystyle{ 0^2+0^2=0 \neq 1 \Rightarrow (0,0)}\) nie należy do tego zbioru.

[Kramarz]

A co do drugiego zadania, to prosił bym o dokładniejsze wytłumaczenie, ponieważ nic mi to nie mówi..

Jeszcze raz definicja albo własności (w zależności od sposobu wprowadzania) przestrzeni wektorowej . Podprzestrzeń jest też przestrzenią, więc musi zawierać wektor zerowy.
Tutaj \(\displaystyle{ 0^2+0^2=0 \neq 1 \Rightarrow (0,0)}\) nie należy do tego zbioru.

Aha. Czyli dobrze rozumiem że każda przestrzeń wektorowa musi zawierać wektor zerowy?

Czyli na podstawie podobnego zadania:

Czy zbiór
\(\displaystyle{ V=\{ (x,y,z) \in R^3 : (x-y)(x+z)=0 \} \ jest\ podprzestrzenia\ liniowa\ w\ R^3}\)

Czyli wystarczy że napiszę że JEST ponieważ:

\(\displaystyle{ (0-0)(0+0)=0 \Rightarrow (0,0,0)}\)


I jeszcze jedno w takim razie:

Czy zbiór
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z) \in R^3 : x^2+y^2=0\}\ jest\ podprzestrzenią\ liniową\ w\ R^3}\)

Nie jest ponieważ brakuje nam "z" we wzorze?
Czy jest ponieważ \(\displaystyle{ 0^2+0^2=0}\) ?-- 1 mar 2010, o 20:08 ------- I jeszcze apropo pierwszego zadania, dotyczącego wektorów..

znalazłem zadanie z którym nie mogę sobie poradzić robiąc tą samą metodą..a mianowicie:

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wektory
\(\displaystyle{ (1,1,a), (2,a,4), (4,2,8)}\)
są liniowo niezależne?

No więc tą samą metodą..

\(\displaystyle{ a(1,1,a)+b(2,a,4)+c(4,2,8) = (0,0,0)}\)

Czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+2b+4c=0 \\
a+ba+2c=0 \\
a^2+4b+8c=0
\end{cases}}\)

Czyli z pierwszego równania:

\(\displaystyle{ a=-2b-4c \\}\)

podstawiam do drugiego i trzeciego:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=-2b-4c \\
-2b-4c-2b^2-4bc=0 \\
(-2b-4c)^{2}+4b+8c=0
\end{cases}}\)

z drugiego wyznaczam b:

\(\displaystyle{ b=-2c-b^2-2bc}\)

I podstawiam do 1 i 3:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=4c+2b^2+4bc-4c \Rightleftarrow a=2b^2+4bc \\
-2b-4c-2b^2-4bc=0 \\
(-2(-2c-b^2-2bc)-4c)^{2}+4(-2c-b^2-2bc)+8c=0
\end{cases}}\)

No i w tym momencie się poddaje, mam wyznaczone b i mogę sobie tak podstawiać bez końca, nie mogę znaleźć błędu, już nie wiem co robic :S

[JankoS]

Raczej trudno jest snuć rozważania o rzeczach, których znaczenia się nie zna. Jeszcze raz polecam definicje i podstawowe własności przestrzeni i podprzestrzeni.
Istnienie wektora zerowego w jakimś zbiorze nie oznacza, że ten zbiór musi być przestrzenią.
"Brak z " nie oznacza, że zbiór nie jest podprzestrzenią.

[Kramarz]

Podprzestrzeń jest też przestrzenią, więc musi zawierać wektor zerowy.

Przez to rozumiem, że jeżeli zawiera wektor zerowy to jest przestrzenią.

Istnienie wektora zerowego w jakimś zbiorze nie oznacza, że ten zbiór musi być przestrzenią.

Czyli nią nie jest?


Jedno wyklucza drugie moim zdaniem. I niestety, mówiąc mi ze nie znam definicji mi nie pomagasz, bo ich nie rozumiem, i wolał bym tłumaczenie, że tak się wyrażę, łopatologiczne. definicje czytałem już z 10 razy z różnych stron, skryptów, wykładów. I one mi nie pomagają, gdybym po ich przeczytaniu rozumiał, to bym tu nie przychodził po pomoc.

Jest ktoś cierpliwy aby mi to wytłumaczyć?

[JankoS]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wektory \(\displaystyle{ (1,1,a), (2,a,4), (4,2,8)}\)są liniowo niezależne?
... Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2b+4c=0 \\a+ba+2c=0 \\a^2+4b+8c=0\end{cases}}\)

Widać, że jednym z rozwiązań tego układu jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\). Więc dla a =0.

[Kramarz]

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wektory \(\displaystyle{ (1,1,a), (2,a,4), (4,2,8)}\)są liniowo niezależne?
... Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2b+4c=0 \\a+ba+2c=0 \\a^2+4b+8c=0\end{cases}}\)

Widać, że jednym z rozwiązań tego układu jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\). Więc dla a =0.

No tak, zgadza się, że też na to nie wpadłem. Jest to układ jednorodny Cramera (to taki w którym wszystkie wyrazy wolne są równe zeru. Czyli posiada tylko rozwiązanie zerowe równe \(\displaystyle{ x_1 = x_2 = ... = x_n = 0\,}\)

A co do pierwszej części postu o 3 wyżej, Wytłumaczy mi ktoś łopatologicznie? Bo czytanie definicji dziesiątki razy nic mi nie daje :/

Czyli:

A co do drugiego zadania, to prosił bym o dokładniejsze wytłumaczenie, ponieważ nic mi to nie mówi..

Jeszcze raz definicja albo własności (w zależności od sposobu wprowadzania) przestrzeni wektorowej . Podprzestrzeń jest też przestrzenią, więc musi zawierać wektor zerowy.
Tutaj \(\displaystyle{ 0^2+0^2=0 \neq 1 \Rightarrow (0,0)}\) nie należy do tego zbioru.

Aha. Czyli dobrze rozumiem że każda przestrzeń wektorowa musi zawierać wektor zerowy?

Czyli na podstawie podobnego zadania:

Czy zbiór
\(\displaystyle{ V=\{ (x,y,z) \in R^3 : (x-y)(x+z)=0 \} \ jest\ podprzestrzenia\ liniowa\ w\ R^3}\)

Czyli wystarczy że napiszę że JEST ponieważ:

\(\displaystyle{ (0-0)(0+0)=0 \Rightarrow (0,0,0)}\)


I jeszcze jedno w takim razie:

Czy zbiór
\(\displaystyle{ V=\{(x,y,z) \in R^3 : x^2+y^2=0\}\ jest\ podprzestrzenią\ liniową\ w\ R^3}\)

Nie jest ponieważ brakuje nam "z" we wzorze?
Czy jest ponieważ \(\displaystyle{ 0^2+0^2=0}\) ?

A także przydała by się pomoc tutaj
post677155.htm
Poprawa już jutro :/

[JankoS]

No tak, zgadza się, że też na to nie wpadłem. Jest to układ jednorodny Cramera .

To nie jest układ równań Cramera. Ponadto układ Cramera może mieć więcej niż jedno rozwiązanie

Czy zbiór \(\displaystyle{ V=\{ (x,y,z) \in R^3 : (x-y)(x+z)=0 \} \ jest\ podprzestrzenia\ liniowa\ w\ R^3}\)

Definicja podprzestrzeni nic nie mówi o wektorze zerowym. Istnienie takowego wynika z jej własności. Przyjmijmy taką:
\(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ W}\), wtedy gdy \(\displaystyle{ V \subset W}\) i \(\displaystyle{ \forall \vec{x}, \vec{y} \in V,\ a,b \in R \quad a \vec{x}+b \vec{y} \in V.}\)
\(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1)=(a+b,a, -b).}\)
Sprawdzam czy \(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1) \in V.}\)
\(\displaystyle{ (a+b-a)(a+b-b)=ba}\). Ostatnie nie jest równe 0 dla dowolnych rzeczywistych a,b więc \(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1)}\) nie należy do V i V nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ R^3}\).

[Kramarz]

No tak, zgadza się, że też na to nie wpadłem. Jest to układ jednorodny Cramera .

To nie jest układ równań Cramera. Ponadto układ Cramera może mieć więcej niż jedno rozwiązanie

Czy zbiór \(\displaystyle{ V=\{ (x,y,z) \in R^3 : (x-y)(x+z)=0 \} \ jest\ podprzestrzenia\ liniowa\ w\ R^3}\)

Definicja podprzestrzeni nic nie mówi o wektorze zerowym. Istnienie takowego wynika z jej własności. Przyjmijmy taką:
\(\displaystyle{ V}\) jest podprzestrzenią przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ W}\), wtedy gdy \(\displaystyle{ V \subset W}\) i \(\displaystyle{ \forall \vec{x}, \vec{y} \in V,\ a,b \in R \quad a \vec{x}+b \vec{y} \in V.}\)
\(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1)=(a+b,a, -b).}\)
Sprawdzam czy \(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1) \in V.}\)
\(\displaystyle{ (a+b-a)(a+b-b)=ba}\). Ostatnie nie jest równe 0 dla dowolnych rzeczywistych a,b więc \(\displaystyle{ a(1,1,0)+b(1,0-1)}\) nie należy do V i V nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ R^3}\).

Hmm, powiedz czy dobrze rozumiem:

Dowolna kombinacja liniowa wektorów przestrzeni liniowej, jest jej podprzestrzenią?
Czyli mam dana przestrzeń powiedzmy \(\displaystyle{ V}\) w \(\displaystyle{ R^3}\) czyli z 3 wspolrzednymi x,y,z.
I biore sobie 2 wektory np:
\(\displaystyle{ a(0,1,0), b(1,-1,0)}\)

Sumuje je:
\(\displaystyle{ a(0,1,1)+b(1,-1,0)=(b,a-b,a)}\)

I teraz, majac w zadaniu okreslony wzór, tak jak tu było \(\displaystyle{ (x-y)(x+z)=0}\) to ja sobie teraz przyjme wzór: \(\displaystyle{ (y-x)(y-z)=0}\) i pod ten wzór podstawiam tą moją wyliczoną kombinację, czyli:
\(\displaystyle{ (a-2b)(-b)=-ab+2b^2}\) i ten wynik nie będzie równy 0 dla dowolnych rzeczywistych a,b czyli nie będzie podprzestrzenią.

Dobrze zrozumiałem? I w taki sposób powinienem być w stanie rozwiązać większość zadań tego typu?

-- 2 mar 2010, o 15:22 --

Doczytałem że:

W każdym z takich zadań musimy sprawdzić czy podany zbiór V jest zamknięty ze względu na sumę wektorów:
\(\displaystyle{ x,y \in V \Rightarrow x + y \in V}\)

oraz na mnożenie przez skalar:
\(\displaystyle{ a \in R ,x \in V \Rightarrow ax \in V .}\)

Czyli jeżeli jedno z nich sie nie sprawdza, to już nie jest podprzestrzenią tak?
Bo tak jak pokazałeś wyżej, dla sumy sie nie sprawdza, ale dla mnożenia przez skalar z kolei:

\(\displaystyle{ (ax_1-ax_2)(ax_1+ax_3)=0 \Rightarrow a(x_1-x_2)a(x_1+x_3)=0 \Rightarrow a((x_1-x_2)(x_1+x_3))=0 \Rightarrow a * 0 = 0}\)

Się sprawdza.-- 2 mar 2010, o 16:20 --

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wektory \(\displaystyle{ (1,1,a), (2,a,4), (4,2,8)}\)są liniowo niezależne?
... Czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases}a+2b+4c=0 \\a+ba+2c=0 \\a^2+4b+8c=0\end{cases}}\)

Widać, że jednym z rozwiązań tego układu jest \(\displaystyle{ a=b=c=0}\). Więc dla a =0.

Jeszcze apropo tego, to ok, dla a=0 są niezależne... a dla innych? w zadaniu mam dla jakich wartosci, wiec obawiam sie że taka odpowiedz nie bedzie mi zaliczona :/

[JankoS]

Poprzednio skupiłem się na samym układzie. Teraz spojrzałem na sposób, w jaki Kolega do tego doszedł. Wyrażenie \(\displaystyle{ a(1,1a)+b(2,a,4)+c(4,2,8)}\) nie za bardzo się nadaje do badania (nie-)zależności. Raz a jest współczynnikiem, a raz składową wektora. Jak już to \(\displaystyle{ d(1,1a)+b(2,a,4)+c(4,2,8)}\). Akurat tutaj mamy sytuację komfortową - liczba wektorów jest równa wymiarowi przestrzeni, więc można obliczyć wyznacznik utworzony z tych wektorów. Wektory są liniowo niezależne dla tych a, dla których wartość wyznacznika jest różna od zera.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&a\\2&a&4\\4&2&8\end{vmatrix}=8a+4a+16-(4a^2+16+8)=0 \Leftrightarrow a \in \{1,2\}.}\)
Wektory są liniowo niezależne dla a różnych od 1 i od 2.

[Kramarz]

Oki, dzieki welkie za pomoc, na kolokwium zadanie z przestrzeni wektorowych napisalem bezblednie ale z kolei nie poszlo mi zadanie drugie Z którym mam problem, i którego nikt nie pomogl mi rozwiazac jeszcze, to zadanie znajduje sie tutaj, więc licze na pomoc!

Link : 182574.htm