Jądro Homomorfizmu

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Rychlapl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 lut 2010, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Rychlapl »

Nie wiem czy to dobry dział, ale chyba tak...

Muszę obliczyć jądro homomorfizmu. Wiem że powinienem przyrównać kolejne części do zera, zrobić macierz i, no właśnie, no i co...?

Homomorfizm: \(\displaystyle{ S(x,y,z,t)=(x-2y+2z+t, \ x+y-7z+10t, \ -y+3z-3t)}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&2&1\\1&1&-7&10\\0&-1&-3&-3\end{bmatrix}}\)
Ostatnio zmieniony 1 mar 2010, o 07:44 przez Szemek, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Algebra liniowa.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Kamil_B »

Jądro czyli zbiór tych wszystkich czwórek (x,y,z,t) które przechodzą nam na wektor zerowy w tym homomorfizmie.
Wystarczy więc skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ S(x,y,z,t)=(x-2y+2z+t,x+y-7z+10t,-y+3z-3t)}\)
i rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-2y+2z+t=0 \\ x+y-7z+10t=0 \\-y+3z-3t=0 \end{cases}}\)
Wklepujesz wszytsko w macierz i rozwiązujesz np. metodą eliminacji Gaussa

Ps. Temat bardzie pasuje do Algebry liniowej.
Rychlapl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 lut 2010, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Rychlapl »

Rozwiązałem sobie to sprowadzając do układu cramera, i tak:

1.Utworzyłem macierz, zakładając że t jest wartością stałą ponieważ R<N i powstało:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&-2&2&-t\\1&1&-7&-10t\\0&-1&-3&3t\end{bmatrix}}\)

Wyszło mi z metody wyznaczników że:

w=9

\(\displaystyle{ W _{x}=4t \\
W _{y}=74t \\
W _{z}=0}\)


Więc:

\(\displaystyle{ x= -\frac{4t}{9}\ \
y= -\frac{74t}{9}\\
z=0\\
t \in R}\)


Dobrze to rozwiązałem, czy pewnie jakiś byk tam jest?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Kamil_B »

Jak chcesz stosować wzory Cramera jeśli to nawet nie jest macierz kwadratowa?
Poza tym t jest parametrem.
Co do samego wyniku - jest zły. Wystarczy podstawić rozwiązanie do np. 3 linki wyjściowego układu i zobaczyć sprzeczność.
Moja rada jest taka - metoda eliminacji Gaussa (co już napisałem zresztą wcześniej).
Rychlapl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 lut 2010, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Rychlapl »

Chciałem za pomocą Kroneckera-Capelliego sprowadzić do metody Cramera...

Mógłbyś mi zaprezentować to rozwiązanie za pomocą tej metody Gaussa? Bo nie bardzo mi to chce wyjść;/
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Kamil_B »

Twierdzenie kroneckera-Capelliego pozwala nam okreslic tylko ilość rozwiązań (jedno, nieskonczenie wiele zależne od... parametrów lub brak), natomiast nie podaje postaci tych rozwiązań.
A w czym jest konkretnie problem w przekształceniach elementarnych?
Jak coś to napisz swoje przeksztalcenia .
Rychlapl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 28 lut 2010, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Jądro Homomorfizmu

Post autor: Rychlapl »

Wiec napiszę co ustaliłem. Za pomocą metody Gaussa, jak i tej drugiej wyszło mi że R tak utworzonej macierzy R=2

Więc zakładam, że 2 niewiadome są stałe i należą do liczb rzeczywistych.

Macierz podstawowa (z uzupełnieniem)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&-2&2&1&0\\1&1&-7&10&0\\0&-1&3&-3&0\end{bmatrix}}\)

Po przekształceniach:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-2&2&1&0\\0&-1&3&-3&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\)

Powstało mi równanie:

\(\displaystyle{ -y+3t-3z=0\\
x-2y+z+1=0\\
Z \wedge T \in R}\)


Więc:

\(\displaystyle{ x=-2t-z\\
y=3t-3z\\
Z \wedge T \in R}\)


I co z tym będzie...?
johnny_94
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 9 gru 2016, o 20:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warsaw

Re: Jądro Homomorfizmu

Post autor: johnny_94 »

musisz odpowiedziec na pytanie dla jakich wektorów \(\displaystyle{ x}\) rownanie \(\displaystyle{ S(x) = 0}\) jest prawdziwe

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/J%C4%85dro_%28algebra_liniowa%29
ODPOWIEDZ