Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
kubal5003
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 lut 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Post autor: kubal5003 »

Witam,
uczę się właśnie na przedmiot Systemy Dynamiczne i mam pewien problem: otóż z pewnej macierzy A (2 x 2)wyszły mi zespolone wartości własne - a konkretnie to nawet para zespolona \(\displaystyle{ i, -i}\), wiem, że to oznacza oscylacje nietłumione i że macierz Jordana w tym przypadku będzie wyglądała tak:
\(\displaystyle{ \[ J =
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right]
\]}\)


Nie wiem natomiast jaki jest ogólny algorytm tworzenia klatek Jordana dla wartości własnych zespolonych, a na egzaminie niestety mogę się spodziewać wszystkiego. Szukałem tego na google, ale bez większych rezultatów. Czy ktoś mógłby mnie oświecić? Będę bardzo wdzięczny.
Awatar użytkownika
Zordon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4977
Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 910 razy

Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Post autor: Zordon »

Jeśli znasz schemat dla rzeczywistych, to dla zespolonych nic nie ulega zmianie.
kubal5003
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 28 lut 2010, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Post autor: kubal5003 »

Dla rzeczywistych to wpisuje je kolejno na przekątnej tyle ilu krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego jest dana wartość własna. Nad przekątną dodaje jedynki(tu jeszcze był jakiś wyjątek, ale niestety nie pamiętam jaki - muszę się jeszcze douczyć).

Skąd więc się bierze -1 w macierzy J dla oscylacji ?
Askor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 kwie 2012, o 17:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Post autor: Askor »

Niestety, kubal5003, napisana przez ciebie macierz nie jest w postaci Jordana.
Postać Jordana macierzy 2x2 to:
1. Albo macierz diagonalna \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&a\end{array}\right)}\) jeśli istnieją 2 wartości własne i dwa wektory własne,
2. Albo macierz klatkowa \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&1\\0&a\end{array}\right)}\), jeśli istnieje tylko jedna wartość własna i jeden wektor własny,
3. ALBO NIE MA postaci Jordana (mozliwe w ciele niedomkniętym algebraicznie).
Jeśli wielomian charakterystyczny nie rozkłada się na czynniki liniowe nad naszym ciałem, wtedy nie ma żadnych wartości własnych
Przykładem takiej macierzy może być \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\in M_{2\times2}\left(\mathbb{R}\right)}\).

Policzmy wielomian charakterystyczny, może się coś wyjaśni:
\(\displaystyle{ det\left(\begin{array}{cc}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{array}\right)=-\lambda\cdot(-\lambda)-1\cdot(-1)=\lambda^2+1}\)
Ups! wielomian minimalny nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wobec tego twojej macierzy nie da się zjordanizować nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Za to nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mamy postać diagonalną
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)}\).

Pozdrowienia,
AS
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych

Post autor: yorgin »

Askor pisze: Wobec tego twojej macierzy nie da się zjordanizować nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Za to nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mamy postać diagonalną
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)}\).

Pozdrowienia,
AS
A co z macierzą \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1&0\end{array}\right)}\) ? Jest to zespolona klatka Jordana odpowiadająca parze wartości własnych \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).
ODPOWIEDZ