Witam,
uczę się właśnie na przedmiot Systemy Dynamiczne i mam pewien problem: otóż z pewnej macierzy A (2 x 2)wyszły mi zespolone wartości własne - a konkretnie to nawet para zespolona \(\displaystyle{ i, -i}\), wiem, że to oznacza oscylacje nietłumione i że macierz Jordana w tym przypadku będzie wyglądała tak:
\(\displaystyle{ \[ J =
\left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right]
\]}\)
Nie wiem natomiast jaki jest ogólny algorytm tworzenia klatek Jordana dla wartości własnych zespolonych, a na egzaminie niestety mogę się spodziewać wszystkiego. Szukałem tego na google, ale bez większych rezultatów. Czy ktoś mógłby mnie oświecić? Będę bardzo wdzięczny.
Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych
Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych
Dla rzeczywistych to wpisuje je kolejno na przekątnej tyle ilu krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego jest dana wartość własna. Nad przekątną dodaje jedynki(tu jeszcze był jakiś wyjątek, ale niestety nie pamiętam jaki - muszę się jeszcze douczyć).
Skąd więc się bierze -1 w macierzy J dla oscylacji ?
Skąd więc się bierze -1 w macierzy J dla oscylacji ?
Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych
Niestety, kubal5003, napisana przez ciebie macierz nie jest w postaci Jordana.
Postać Jordana macierzy 2x2 to:
1. Albo macierz diagonalna \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&a\end{array}\right)}\) jeśli istnieją 2 wartości własne i dwa wektory własne,
2. Albo macierz klatkowa \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&1\\0&a\end{array}\right)}\), jeśli istnieje tylko jedna wartość własna i jeden wektor własny,
3. ALBO NIE MA postaci Jordana (mozliwe w ciele niedomkniętym algebraicznie).
Jeśli wielomian charakterystyczny nie rozkłada się na czynniki liniowe nad naszym ciałem, wtedy nie ma żadnych wartości własnych
Przykładem takiej macierzy może być \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\in M_{2\times2}\left(\mathbb{R}\right)}\).
Policzmy wielomian charakterystyczny, może się coś wyjaśni:
\(\displaystyle{ det\left(\begin{array}{cc}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{array}\right)=-\lambda\cdot(-\lambda)-1\cdot(-1)=\lambda^2+1}\)
Ups! wielomian minimalny nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wobec tego twojej macierzy nie da się zjordanizować nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Za to nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mamy postać diagonalną
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)}\).
Pozdrowienia,
AS
Postać Jordana macierzy 2x2 to:
1. Albo macierz diagonalna \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&b\end{array}\right)}\) lub \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&0\\0&a\end{array}\right)}\) jeśli istnieją 2 wartości własne i dwa wektory własne,
2. Albo macierz klatkowa \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a&1\\0&a\end{array}\right)}\), jeśli istnieje tylko jedna wartość własna i jeden wektor własny,
3. ALBO NIE MA postaci Jordana (mozliwe w ciele niedomkniętym algebraicznie).
Jeśli wielomian charakterystyczny nie rozkłada się na czynniki liniowe nad naszym ciałem, wtedy nie ma żadnych wartości własnych
Przykładem takiej macierzy może być \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}1&-1\\1&1\end{array}\right)\in M_{2\times2}\left(\mathbb{R}\right)}\).
Policzmy wielomian charakterystyczny, może się coś wyjaśni:
\(\displaystyle{ det\left(\begin{array}{cc}-\lambda&1\\-1&-\lambda\end{array}\right)=-\lambda\cdot(-\lambda)-1\cdot(-1)=\lambda^2+1}\)
Ups! wielomian minimalny nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wobec tego twojej macierzy nie da się zjordanizować nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Za to nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mamy postać diagonalną
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)}\).
Pozdrowienia,
AS
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Klatki Jordana dla zespolonych wartości własnych
A co z macierzą \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1&0\end{array}\right)}\) ? Jest to zespolona klatka Jordana odpowiadająca parze wartości własnych \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\).Askor pisze: Wobec tego twojej macierzy nie da się zjordanizować nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Za to nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) mamy postać diagonalną
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}i&0\\0&-i\end{array}\right)}\).
Pozdrowienia,
AS