wielomian charakterystyczny operatora

Kardana · Post autor: **Kardana** » 15 wrz 2006, o 14:34

jak zrobić to zadanko????

Niech V będzie n-wymiarową przestrzenią, a U jej k-wymiarową podprzestrzenią i niech \(\displaystyle{ V= U \oplus U'}\).
Niech \(\displaystyle{ \rho : V \mapsto V}\) będzie operatorem zdefiniowanym następująco : jeśli \(\displaystyle{ \ v= u+ u' , gdzie \ u U , a\ u' U' \ , to \ \rho (v)= u}\). Wyznaczyć wielomian charakterystyczny operatora \(\displaystyle{ \rho}\)

Sir George · Post autor: **Sir George** » 15 wrz 2006, o 14:50

Jak dobrze widze, to \(\displaystyle{ V}\) jest suma prosta. Zatem \(\displaystyle{ \rho}\) to klasyczny rzut na podprzestrzen \(\displaystyle{ U}\)...

Kardana · Post autor: **Kardana** » 15 wrz 2006, o 15:08

Jesteś pewien, że to można potraktować jako rzut czyli U' jest ortogonalne do U bo to nie jest określone w zadaniu??????

Czyli jeśli określe baze U jako \(\displaystyle{ b_{1} , b_{2} ,....b_{k}}\) a bazę U' określe jako \(\displaystyle{ b_{k+1} , b_{k+2} ,....b_{n}}\), i zapisze sobie wektor v jako \(\displaystyle{ \alpha_{1}b_{1} , \alpha_{2}b_{2} ,....\alpha_{k}b_{k},\alpha_{k+1} b_{k+1} , ...\alpha_{n}b_{n}}\) to jak to dalej mam rozwiązać????????

Sir George · Post autor: **Sir George** » 15 wrz 2006, o 15:23

Kardana pisze:... czyli U' jest ortogonalne do U ...

sugeruje to zapis:
\(\displaystyle{ V\ = \ U\, \oplus\, U'}\)

...chyba, ze sume prosta oznaczacie inaczej...
Fakt, ze nic nie wiadomo o domknietosci podprzestrzeni \(\displaystyle{ U}\)... ale to tylko dodatkowy, drobny klopot

BTW, a pamietasz czym jest wielomian charakterystyczny?

Kardana · Post autor: **Kardana** » 15 wrz 2006, o 15:28

hmmm domyślam się że trzeba znależć macierz przekształcenia, bo wielomian charakterystyczny to det (A-xI) gdzie A to ta macierz...tylko jak mam ją sobie wyznaczyć????

Sir George · Post autor: **Sir George** » 15 wrz 2006, o 15:47

Kardana pisze:...gdzie A to ta macierz...tylko jak mam ją sobie wyznaczyć????

a o czym mowi ta macierz?

No, nie bede Cie stresowal... w poprzednim poscie zaproponowalas baze przestrzeni. Kolumny macierzy A to nic innego, jak zapisane (w owej bazie) obrazy kolejnych elementow bazy w danym przeksztalceniu...

Czyli macierz \(\displaystyle{ A \ = \ ft(\begin{array}{ccc} ? & ? & s \cr ? & ? & s \cr \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right)}\)

... sama sprobuj wpisac wyrazy macierzy.

Aby Cie nie niepokoic, to podam Ci od razu, ze powinno Ci wyjsc \(\displaystyle{ r_\rho(x)\ = \ x^{n'}\,(1 - x)^n}\). A wiadomo to stad, ze kazdy rzut ortogonalny ma taki wielomian charakterystyczny...

Ogolnie, kazdy rzut ortogonalny \(\displaystyle{ P}\) spelnia rownanie \(\displaystyle{ P^2\, =\, P}\).

Kardana · Post autor: **Kardana** » 15 wrz 2006, o 15:55

Juz chyba rozumiem to przekształcenie przekształca wektory z przestrzeni v na wektory z podprzestrzeni u czyli dlatego wielomian charakterystyczny jest podniesiony do potęgi n
Bardzo dziękuję za pomoc

Sir George · Post autor: **Sir George** » 15 wrz 2006, o 16:09

Brawo!