Witam,
mam pytanie jak obliczyć wyznacznik macierzy od czego najpierw mam zacząć?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}\)
Będę bardzo wdzięczna za pomoc;)w tym na pierwszy rzut oka wyglądającym łatwym zadanku;/
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
o super Laplace'a a możesz mi wyjaśnić skąd mam wiedzieć z którego rozwinięcia mam korzystać przed rozpoczęciem obliczeń;)?
-- 24 lut 2010, o 17:05 --
rozumiem,że do obliczania wyznacznika stopnia wyższego niż TRZY używa się Laplace'a
-- 24 lut 2010, o 17:05 --
rozumiem,że do obliczania wyznacznika stopnia wyższego niż TRZY używa się Laplace'a
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
nielubiematematyki, Tutaj rozwiń względem pierwszego wiersza
(dostaniesz dwa wyznaczniki trzeciego stopnia)
Można też skorzystać z metody eliminacji Gaussa albo z rozkładu LU
przy większych macierzach (przy większych macierzach niż 3x3 staje się to opłacalne )
Obliczę metodą rozkładu LU a ty porównasz wyniki z metodą Laplace
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2&1&2\\ \frac{1}{3} &2&1&-1\\- \frac{1}{6} &2&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &2&- \frac{1}{3} &- \frac{5}{3} \\- \frac{1}{6} &2& \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &-1&- \frac{1}{3} &- \frac{5}{3} \\- \frac{1}{6} &-1& \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &-1&0 &0 \\- \frac{1}{6} &-1& 1 & 2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\- \frac{1}{6} &-1& 1 & 2 \\ \frac{1}{3} &-1&0 &0 \end{bmatrix}}\)
Iloczyn elementów na głównej przekątnej wynosi zero więc wyznacznik wynosi zero
(dostaniesz dwa wyznaczniki trzeciego stopnia)
Można też skorzystać z metody eliminacji Gaussa albo z rozkładu LU
przy większych macierzach (przy większych macierzach niż 3x3 staje się to opłacalne )
Obliczę metodą rozkładu LU a ty porównasz wyniki z metodą Laplace
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2&1&2\\ \frac{1}{3} &2&1&-1\\- \frac{1}{6} &2&0&0\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &2&- \frac{1}{3} &- \frac{5}{3} \\- \frac{1}{6} &2& \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &-1&- \frac{1}{3} &- \frac{5}{3} \\- \frac{1}{6} &-1& \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} &-1&0 &0 \\- \frac{1}{6} &-1& 1 & 2 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\ \frac{1}{6} &-2& \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\\- \frac{1}{6} &-1& 1 & 2 \\ \frac{1}{3} &-1&0 &0 \end{bmatrix}}\)
Iloczyn elementów na głównej przekątnej wynosi zero więc wyznacznik wynosi zero
Ostatnio zmieniony 24 lut 2010, o 18:26 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 3 razy.
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
rozumiem,że obliczając ten wyznacznik muszę odpowiednie kolumny wiersza dodać do odpowiadających elementów innego wiersza?i pomnożyć przez dowolną liczbę?
-- 24 lut 2010, o 17:45 --
wypraszam sobie,że nie jestem otwarta na wiedzę matematyczną,owszem jestem tylko czytam i nic z tego nie rozumiem,mam tak zakręconą książkę,nie każdy rodzi się od razu matematykiem;)-- 24 lut 2010, o 18:03 --pomoże ktoś?
-- 24 lut 2010, o 17:45 --
wypraszam sobie,że nie jestem otwarta na wiedzę matematyczną,owszem jestem tylko czytam i nic z tego nie rozumiem,mam tak zakręconą książkę,nie każdy rodzi się od razu matematykiem;)-- 24 lut 2010, o 18:03 --pomoże ktoś?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
nielubiematematyki, gdy liczysz wyznacznik metodą eliminacji pamiętaj że
Dodanie wiersza (pomnożonego przez skalar) do innego wiersza nie zmienia wartości wyznacznika
Pomnożenie wiersza przez skalar powoduje pomnożenie wyznacznika przez ten skalar
Zamiana dwóch wybranych wierszy zmienia znak wyznacznika
Wyznacznik jest równy zero gdy któryś z wierszy jest zerowy lub wiersze są proporcjonalne
lub wybrany wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy
Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej
Operacje elementarne możesz wykonywać także na kolumnach
Dodanie wiersza (pomnożonego przez skalar) do innego wiersza nie zmienia wartości wyznacznika
Pomnożenie wiersza przez skalar powoduje pomnożenie wyznacznika przez ten skalar
Zamiana dwóch wybranych wierszy zmienia znak wyznacznika
Wyznacznik jest równy zero gdy któryś z wierszy jest zerowy lub wiersze są proporcjonalne
lub wybrany wiersz jest kombinacją liniową innych wierszy
Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej
Operacje elementarne możesz wykonywać także na kolumnach
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
a mogę prosić bardziej szczegółowe wytłumaczenie tak troszkę wolniej bo się pogubiłam?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
nielubiematematyki, Najpierw wykonaj takie operacje
\(\displaystyle{ w_{2}- \left(-w_{1} \right) \rightarrow w_{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}- \left(-2w_{1} \right) \rightarrow w_{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{4}- \left(-6w_{1} \right) \rightarrow w_{4}}\)
I napisz jak wtedy będzie wyglądała macierz
Poźniej wykonaj operacje
\(\displaystyle{ w_{4}-2w_{3} \rightarrow w_{4}}\)
Wtedy wiersz drugi i czwarty będą proporcjonalne czyli wyznacznik równy zero
\(\displaystyle{ w_{2}- \left(-w_{1} \right) \rightarrow w_{2}}\)
\(\displaystyle{ w_{3}- \left(-2w_{1} \right) \rightarrow w_{3}}\)
\(\displaystyle{ w_{4}- \left(-6w_{1} \right) \rightarrow w_{4}}\)
I napisz jak wtedy będzie wyglądała macierz
Poźniej wykonaj operacje
\(\displaystyle{ w_{4}-2w_{3} \rightarrow w_{4}}\)
Wtedy wiersz drugi i czwarty będą proporcjonalne czyli wyznacznik równy zero
Ostatnio zmieniony 24 lut 2010, o 18:45 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
zaraz biorę się za liczenie,mam jeszcze takie pytanie czy w każdym przypadku obliczania wyznacznika mogę ożyć tego sposobu liczenia na wierszach i czy zawsze w tej kolejności mogę odejmować(dodawać) wybrane wiersze,jak napisałeś powyżej czy jest jakaś inna zasada?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
Tak można tego sposobu użyć dla każdej macierzy
Czasami jednak gdy na głównej przekątnej pojawia się zero to można zamienić wiersze
ale trzeba wtedy pamiętać ile razy się przestawiło wiersze
(gdy ostatecznie otrzymamy nieparzystą ilość przestawień zmienić znak wyznacznika na przeciwny)
Ogólnie celem eliminacji jest zbudowanie macierzy trójkątnej tj
(poniżej głównej przekątnej same zera albo powyżej głównej przekątnej są same zera)
Co do zamieniania wierszy to po zamianie dwóch wierszy możesz w jednym z zamienianych wierszy
zmienić znaki wszystkim elementom nie będziesz musiała wtedy pamiętać ile razy zamieniłaś wiersze
Czasami jednak gdy na głównej przekątnej pojawia się zero to można zamienić wiersze
ale trzeba wtedy pamiętać ile razy się przestawiło wiersze
(gdy ostatecznie otrzymamy nieparzystą ilość przestawień zmienić znak wyznacznika na przeciwny)
Ogólnie celem eliminacji jest zbudowanie macierzy trójkątnej tj
(poniżej głównej przekątnej same zera albo powyżej głównej przekątnej są same zera)
Co do zamieniania wierszy to po zamianie dwóch wierszy możesz w jednym z zamienianych wierszy
zmienić znaki wszystkim elementom nie będziesz musiała wtedy pamiętać ile razy zamieniłaś wiersze
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
po zamianie wiersza 4 z wierszem 1 wychodzi macierz poniżej,czy mogę tak zacząć?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\) ^{w2+w1(-1)}
-- 24 lut 2010, o 19:48 --
wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\-5&-2&-3&0\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\) ^{w3+w1(-2)} ???????????
-- 24 lut 2010, o 20:29 --
czy ktoś obliczy mi to zadanie metoda Laplace'a?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\) ^{w2+w1(-1)}
-- 24 lut 2010, o 19:48 --
wyszło mi \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 6&0&4&2\\-5&-2&-3&0\\2&2&1&-1\\-1&2&0&0\end{bmatrix}}\) ^{w3+w1(-2)} ???????????
-- 24 lut 2010, o 20:29 --
czy ktoś obliczy mi to zadanie metoda Laplace'a?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
Do obliczania wyznacznika można użyć
definicji permutacyjnej (sumowanie iloczynów po wszystkich permutacjach indeksów)
Jest to metoda czasochłonna trzeba zsumować n! iloczynów
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{\sigma \in S_{n} } \left(-1\right) ^{Inv \left(\sigma \right) } \prod_{i=1}^{n}a_{i\sigma \left(i \right) }}\)
Można też użyć definicji indukcyjnej (można ją wyprowadzić przez rozwinięcie Laplace)
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{k=1}^{n} \left(-1 \right) ^{1+k} \cdot a_{1k} \cdot \det{A_{1k}}}\)
Wyznacznik można także obliczyć metodą eliminacji Gaussa
Za pomocą operacji elementarnych sprowadzamy macierz do postaci trójkątnej
(powyżej głównej przekątnej same zera albo poniżej głównej przekątnej same zera)
Następnie obliczamy iloczyn elementów na głównej przekątnej
Wyznacznik można także obliczyć metodą rozkładu macierzy
Rozkładu LU dokonujemy w ten sposób
1. Szukamy elementu podstawowego
(największy co do wartości bezwzględnej element w kolumnie poniżej głównej przekątnej)
Jeżeli nie uda nam się znaleźć elementu podstawowego to znaczy że wyznacznik jest równy zero
2. Jeżeli znajdziemy element podstawowy to zamieniamy wiersze i zwiększamy licznik zamiany wierszy
3. k-ty wiersz przepisujemy bez zmian
a k-tą kolumnę (elementy poniżej głównej przekątnej) dzielimy przez element podstawowy
4. Obliczamy uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{ik} \cdot a_{kj}}\)
Przy czym \(\displaystyle{ k=1 \hdots n-1}\)
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}lu_{ii}}\)
LU macierz rozkładu LU
p ilość przestawień wierszy
Koszt pierwszych dwóch metod wynosi \(\displaystyle{ O \left(n! \right)}\)
a dwóch ostatnich \(\displaystyle{ O \left(n^3 \right)}\)
wobec powyższego dla większych macierzy lepiej jest stosować jedną z dwóch ostatnich metod-- 24 lutego 2010, 22:29 --Jak by nie liczyć wyznacznik ten jest równy zero
Metodą rozwinięcia Laplace koniecznie chcesz
\(\displaystyle{ \det{\begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}=-\det{ \begin{bmatrix} -2&1&2 \\ 2&1&-1\\0&4&2 \end{bmatrix} }-2\det{ \begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&-1\\6&4&2 \end{bmatrix} }}\)
\(\displaystyle{ -\det{ \begin{bmatrix} -2&1&2 \\ 2&1&-1\\0&4&2 \end{bmatrix} }=- \left( \left(-4-0+16 \right)- \left(4+8+0 \right) \right)=- \left( 12-12\right)=0}\)
\(\displaystyle{ -2\det{ \begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&-1\\6&4&2 \end{bmatrix} }=-2 \left( \left(2-6+16 \right) - \left(4-4+12 \right) \right)=-2 \left(12-12 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ \det{\begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}=0}\)
definicji permutacyjnej (sumowanie iloczynów po wszystkich permutacjach indeksów)
Jest to metoda czasochłonna trzeba zsumować n! iloczynów
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{\sigma \in S_{n} } \left(-1\right) ^{Inv \left(\sigma \right) } \prod_{i=1}^{n}a_{i\sigma \left(i \right) }}\)
Można też użyć definicji indukcyjnej (można ją wyprowadzić przez rozwinięcie Laplace)
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{k=1}^{n} \left(-1 \right) ^{1+k} \cdot a_{1k} \cdot \det{A_{1k}}}\)
Wyznacznik można także obliczyć metodą eliminacji Gaussa
Za pomocą operacji elementarnych sprowadzamy macierz do postaci trójkątnej
(powyżej głównej przekątnej same zera albo poniżej głównej przekątnej same zera)
Następnie obliczamy iloczyn elementów na głównej przekątnej
Wyznacznik można także obliczyć metodą rozkładu macierzy
Rozkładu LU dokonujemy w ten sposób
1. Szukamy elementu podstawowego
(największy co do wartości bezwzględnej element w kolumnie poniżej głównej przekątnej)
Jeżeli nie uda nam się znaleźć elementu podstawowego to znaczy że wyznacznik jest równy zero
2. Jeżeli znajdziemy element podstawowy to zamieniamy wiersze i zwiększamy licznik zamiany wierszy
3. k-ty wiersz przepisujemy bez zmian
a k-tą kolumnę (elementy poniżej głównej przekątnej) dzielimy przez element podstawowy
4. Obliczamy uzupełnienie Schura
\(\displaystyle{ a_{ij}=a_{ij}-a_{ik} \cdot a_{kj}}\)
Przy czym \(\displaystyle{ k=1 \hdots n-1}\)
\(\displaystyle{ \det{A}= \left( -1\right) ^{p} \prod_{i=1}^{n}lu_{ii}}\)
LU macierz rozkładu LU
p ilość przestawień wierszy
Koszt pierwszych dwóch metod wynosi \(\displaystyle{ O \left(n! \right)}\)
a dwóch ostatnich \(\displaystyle{ O \left(n^3 \right)}\)
wobec powyższego dla większych macierzy lepiej jest stosować jedną z dwóch ostatnich metod-- 24 lutego 2010, 22:29 --Jak by nie liczyć wyznacznik ten jest równy zero
Metodą rozwinięcia Laplace koniecznie chcesz
\(\displaystyle{ \det{\begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}=-\det{ \begin{bmatrix} -2&1&2 \\ 2&1&-1\\0&4&2 \end{bmatrix} }-2\det{ \begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&-1\\6&4&2 \end{bmatrix} }}\)
\(\displaystyle{ -\det{ \begin{bmatrix} -2&1&2 \\ 2&1&-1\\0&4&2 \end{bmatrix} }=- \left( \left(-4-0+16 \right)- \left(4+8+0 \right) \right)=- \left( 12-12\right)=0}\)
\(\displaystyle{ -2\det{ \begin{bmatrix} 1&1&2 \\ 2&1&-1\\6&4&2 \end{bmatrix} }=-2 \left( \left(2-6+16 \right) - \left(4-4+12 \right) \right)=-2 \left(12-12 \right)=0}\)
\(\displaystyle{ \det{\begin{bmatrix} -1&2&0&0\\1&-2&1&2\\2&2&1&-1\\6&0&4&2\end{bmatrix}}=0}\)
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
mam pytanie odnośnie tego zadanka,skąd się wziął ten minus przed det?
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
nielubiematematyki,
rozwinięcie Laplace
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{j=1}^{n} \left( -1\right) ^{i+j} \cdot a_{ij}\det{A_{ij}}}\)
czyli mamy
\(\displaystyle{ \left( -1\right)^{1+1} \cdot \left( -1\right)=-1}\)
\(\displaystyle{ \left( -1\right)^{1+2} \cdot 2=-2}\)
rozwinięcie Laplace
\(\displaystyle{ \det{A}= \sum_{j=1}^{n} \left( -1\right) ^{i+j} \cdot a_{ij}\det{A_{ij}}}\)
czyli mamy
\(\displaystyle{ \left( -1\right)^{1+1} \cdot \left( -1\right)=-1}\)
\(\displaystyle{ \left( -1\right)^{1+2} \cdot 2=-2}\)
-
nielubiematematyki
- Użytkownik
- Posty: 24
- Rejestracja: 29 sty 2010, o 12:02
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
jak obliczyc wyznacznik macierzy?
ach teraz rozumiem a skąd mam wiedzieć którą kolumnę wykreślić w pierwszej kolejności i wiersz?dlaczego
akurat 1-wsza kolumna i 1-wiersz bo mam tam najwięcej zer?-- 25 lut 2010, o 19:17 --już zrozumiałam po większym zagłębieniu się w zadanie;)bardzo dziękuję za pomoc!!!!!!!!!!!!!!!!!!
akurat 1-wsza kolumna i 1-wiersz bo mam tam najwięcej zer?-- 25 lut 2010, o 19:17 --już zrozumiałam po większym zagłębieniu się w zadanie;)bardzo dziękuję za pomoc!!!!!!!!!!!!!!!!!!