Witam! Mam takie zadanko, by sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ a=(1,2,0),\, b=(0,1,0),\, c=(1,1,1)}\)są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ R}\).
To, że są liniowo niezależne udowodniłem, ale nie wiem jak wykazać że generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\). Czy może mi ktoś pomóc w tej sprawie?
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 14 wrz 2006, o 17:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Łodzi
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2006, o 18:15 przez januszt29, łącznie zmieniany 4 razy.
- el payaco
- Użytkownik
- Posty: 25
- Rejestracja: 6 wrz 2006, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: BrodWay
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 4 razy
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
Jeżeli są trzy wektory liniowo niezależne z \(\displaystyle{ R^{3}}\) to tworzą maksymalny układ liniowo niezależny - generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\).
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
Owszem można tak, ale to wymaga wiedzy na temat wymiaru (tutaj oczywiscie jest to trywialne).
Ogólniej to wybierasz dowolny wektor należący do danej przestrzeni i rozpisujesz go jako kombinację liniową wektorów "bazy". Jeśli rozkład ten jest możliwy oraz jeśli jest jednoznaczny to jest to faktycznie baza.
Czyli u nas nalezy sprawdzić:
\(\displaystyle{ (x, y, z)= a + \beta b + \gamma c}\)
Jest to o tyle dobry sposób że od razu otrzymasz wzór na wspołrzędne każdego wektora w tej bazie. A często o to chodzi w zadaniu.
Ogólniej to wybierasz dowolny wektor należący do danej przestrzeni i rozpisujesz go jako kombinację liniową wektorów "bazy". Jeśli rozkład ten jest możliwy oraz jeśli jest jednoznaczny to jest to faktycznie baza.
Czyli u nas nalezy sprawdzić:
\(\displaystyle{ (x, y, z)= a + \beta b + \gamma c}\)
Jest to o tyle dobry sposób że od razu otrzymasz wzór na wspołrzędne każdego wektora w tej bazie. A często o to chodzi w zadaniu.
- Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
Jak dla mnie to już zależy od wydziału. Na wykładzie zostało udowodnione, że jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ \small A=(\alpha_1,..._r)}\) w \(\displaystyle{ R^n}\) rozpina przestrzeń tzn. r=n i wektory te są liniowo niezależne, to A jest bazą, czyli A generuje \(\displaystyle{ R^n}\)
I pozniej przy kazdym zadaniu się tego trzyma. Sprawdza, czy r=n orazy, czy są liniowo niezależne.
I pozniej przy kazdym zadaniu się tego trzyma. Sprawdza, czy r=n orazy, czy są liniowo niezależne.
- Rzeszut
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 20 lip 2006, o 16:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 3 razy
Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?
Jeśli mamy sprawdzić liniową niezależność układu n wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\), to możemy postąpić brutalnie i policzyć wyznacznik macierzy, której są one kolumnami (lub wierszami, bo \(\displaystyle{ \det M^T=\det M}\)). Ale ta metoda zazwyczaj jest żmudna rachunkowo i dla \(\displaystyle{ n\geq 5}\) komputer jest najlepszym rozwiązaniem.