Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
januszt29
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 14 wrz 2006, o 17:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Łodzi

Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Post autor: januszt29 »

Witam! Mam takie zadanko, by sprawdzić czy wektory \(\displaystyle{ a=(1,2,0),\, b=(0,1,0),\, c=(1,1,1)}\)są bazą przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) nad ciałem \(\displaystyle{ R}\).
To, że są liniowo niezależne udowodniłem, ale nie wiem jak wykazać że generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\). Czy może mi ktoś pomóc w tej sprawie?
Ostatnio zmieniony 14 wrz 2006, o 18:15 przez januszt29, łącznie zmieniany 4 razy.
Awatar użytkownika
el payaco
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 6 wrz 2006, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BrodWay
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 4 razy

Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Post autor: el payaco »

Jeżeli są trzy wektory liniowo niezależne z \(\displaystyle{ R^{3}}\) to tworzą maksymalny układ liniowo niezależny - generują one przestrzeń \(\displaystyle{ R^{3}}\).
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Post autor: Emiel Regis »

Owszem można tak, ale to wymaga wiedzy na temat wymiaru (tutaj oczywiscie jest to trywialne).
Ogólniej to wybierasz dowolny wektor należący do danej przestrzeni i rozpisujesz go jako kombinację liniową wektorów "bazy". Jeśli rozkład ten jest możliwy oraz jeśli jest jednoznaczny to jest to faktycznie baza.
Czyli u nas nalezy sprawdzić:
\(\displaystyle{ (x, y, z)= a + \beta b + \gamma c}\)
Jest to o tyle dobry sposób że od razu otrzymasz wzór na wspołrzędne każdego wektora w tej bazie. A często o to chodzi w zadaniu.
Awatar użytkownika
Zlodiej
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1910
Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 108 razy

Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Post autor: Zlodiej »

Jak dla mnie to już zależy od wydziału. Na wykładzie zostało udowodnione, że jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ \small A=(\alpha_1,..._r)}\) w \(\displaystyle{ R^n}\) rozpina przestrzeń tzn. r=n i wektory te są liniowo niezależne, to A jest bazą, czyli A generuje \(\displaystyle{ R^n}\)

I pozniej przy kazdym zadaniu się tego trzyma. Sprawdza, czy r=n orazy, czy są liniowo niezależne.
Awatar użytkownika
Rzeszut
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 20 lip 2006, o 16:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 3 razy

Jak sprawdzić czy wektory generują przestrzeń?

Post autor: Rzeszut »

Jeśli mamy sprawdzić liniową niezależność układu n wektorów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}}\), to możemy postąpić brutalnie i policzyć wyznacznik macierzy, której są one kolumnami (lub wierszami, bo \(\displaystyle{ \det M^T=\det M}\)). Ale ta metoda zazwyczaj jest żmudna rachunkowo i dla \(\displaystyle{ n\geq 5}\) komputer jest najlepszym rozwiązaniem.
ODPOWIEDZ