Baza - parametr

Mufas · Post autor: **Mufas** » 23 lut 2010, o 02:55

Mam problem z zadaniem:
Dla jakich wartości parametru p wektory \(\displaystyle{ \vec{x}=(1;2;3)}\), \(\displaystyle{ \vec{y}=(3;4;2)}\), \(\displaystyle{ \vec{z} =(1;1;p)}\) tworzą bazę przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\)?

Szukałem na forum, ale nic podobnego nie znalazłem... Być może jest to łatwe zadanie, ale 10 godzin przed komisem człowiek nic nie potrafi zrobić

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 23 lut 2010, o 03:00

Ponieważ wektorów jest odpowiednia ilość, to wystarczy sprawdzić podstawowy warunek na bazę - liniową niezależność.

Pozdrawiam.

Mufas · Post autor: **Mufas** » 23 lut 2010, o 03:06

Nie no tyle to wiem, tylko później nie jestem pewny jak sprawdzić dla jakich p będzie ta liniowa niezależność...

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 23 lut 2010, o 03:09

A jak się sprawdza liniową niezależność wektorów?

Pozdrawiam.

Mufas · Post autor: **Mufas** » 23 lut 2010, o 03:14

No z tego co się orientuję to na podstawie wyznacznika, jeśli będzie równy 0, to wtedy mamy liniowo zależne.

Wyszło mi \(\displaystyle{ p \neq - \frac{1}{2}}\), ale nie jestem pewny tego

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 23 lut 2010, o 03:25

Masz rację. Czyli chodzi tutaj o ustalenie takiej wartości parametru \(\displaystyle{ p}\), dla której wyznacznik jest różny od zera.

Dobrze Ci wyszło.

Pozdrawiam.

Natasha · Post autor: **Natasha** » 25 lut 2010, o 15:34

Czy jeśli wektory będą liniowo niezależne, to będą generować przestrzeń? Mam podobne zadanie i też wychodzi p różne od czegoś. Podstawiłam sobie za p coś dowolnego różnego od jakiejś tam liczby i sprawdzam, czy jeden wektor da się przedstawić w postaci wszystkich pozostałych. Czy ten warunek też trzeba sprawdzić?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 25 lut 2010, o 15:40

Nic już nie musisz sprawdzać - zgodnie z definicją bazy i wymiaru, jeśli masz odpowiednią (maksymalną) ilość wektorów niezależnych w danej przestrzeni, to one stanowią bazę tej przestrzeni.

Pozdrawiam.