Dowód - liniowa niezależność

[Mufas]

Mam mały problem z dowodem:
Wykaż, że jeśli wektory \(\displaystyle{ \overline x}\), \(\displaystyle{ \overline y}\), \(\displaystyle{ \overline z}\) są liniowo niezależne, to wektory \(\displaystyle{ \overline u=\overline x+\overline y}\), \(\displaystyle{ \overline w=\overline x-\overline z}\) i \(\displaystyle{ \overline v=2\overline y+\overline z}\) też są liniowo niezależne.

Mógłby ktoś przeprowadzić cały dowód, bo z tego co szukałem to ludzie często pomijają jeden krok (dwa), a takie coś u mojego profesora niestety nie przejdzie...

[scyth]

Warunek niezależności:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = 0 \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma =0}\)
A więc zakładam, że:
\(\displaystyle{ \alpha \vec{u} + \beta \vec{w} + \gamma \vec{v} = 0}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \alpha (\vec{x}+\vec{y}) + \beta (\vec{x}-\vec{z}) + \gamma (2\vec{y}+\vec{z}) = 0 \\
\vec{x} (\alpha + \beta) + \vec{y} (\alpha + 2\gamma) + \vec{z} (\gamma - \beta) = 0}\)
Z liniowej niezależności wektorów \(\displaystyle{ \vec{x}, \ \vec{y}, \ \vec{z}}\) wynika, że otrzymane współczynniki są równe zeru, czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha + \beta = 0 \\
\alpha + 2\gamma = 0 \\
\gamma - \beta = 0
\end{cases}}\)
A stąd już łatwo otrzymasz, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma =0}\).

[Mufas]

Dzięki ;]