Wektory i baza.

[matti90]

Dany jest zbiór \(\displaystyle{ X=\{x\in R^{5}: -x _{1} +2x _{2} =0 \wedge x _{1}+x _{3} +2x _{4} =0\}}\).
Czy zbiór X jest podprzestrzenią liniową? Jeśli, tak wyznacz jego przykładową bazę i wymiar. Oprócz tego, podaj jedną bazę tej podprzestrzeni składającą się z wektorów o długości 4. Czy jest to baza ortogonalna? Czy wektor \(\displaystyle{ x=[2, -2, -1, 0, 0] ^{T}}\) należy do zbioru X?

Wyznaczyłem tę bazę o długości 4, wyszło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ \left([0,0,-4,0,0] ^{T}, [ \frac{-8}{ \sqrt{5} }, \frac{4}{ \sqrt{5} },0,0,0] ^{T},[0,0, \frac{-4}{ \sqrt{5} },\frac{4}{ \sqrt{5} },0] ^{T} ,[0,0,0,0,4]^{T} \right)}\)

Poprosiłbym o podanie rozwiązania czy jest to baza ortogonalna i podanie wzoru na to czy dana baza jest bazą ortogonalną. I jeszcze prosiłbym o podanie rozwiązania czy wektor x należy do zbioru X.
Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[scyth]

Od razu widać, że ten wektor nie należy do \(\displaystyle{ X}\), bo jego współrzędne nie spełniają pierwszego warunku: \(\displaystyle{ -x _{1} +2x _{2} =0}\).
Chyba masz za dużą bazę - mi wychodzi, że jest to przestrzeń trójwymiarowa:
\(\displaystyle{ X=\left\{x \in \mathbb{R}^5: x=[2x_2, x_2, -x_2-2x_4, x_4, x_5]^T \right\}}\)