Mam taki. Otóż, że nie mam pojęcia jak rozwiązać ten układ. Czy ktoś mógłby mi pomóc w rozwiązaniu tego układu??
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\
x-y = 0 \end{cases}}\)
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
A czego tu nie umiesz zrobić? Podpowiedź: Dodaj równania stronami.
Btw tw K-C nie służy do rozwiązywania układów, tylko do określania ilości rozwiązań.
Pozdrawiam.
Btw tw K-C nie służy do rozwiązywania układów, tylko do określania ilości rozwiązań.
Pozdrawiam.
-
Mro0ozo
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 21 lut 2010, o 22:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 3 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
Ale mi chodzi o cały jak co trzeba zrobić po koleji, bo nie wiem jak, tzn wiem że trzeba zrobić z tego macierz. Prosze o dokładnie objaśnienie, bo tak to bede sie długo męczył, albo wcale tego nie zrobie bo się poddam
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
Hm..robienie tutaj macierzy to trochę sztuka dla sztuki.
Robi się macierz tak, jak z każdego innego układu równań - z czym masz tu konkretnie problem? Bo nadal nie wiem. Jeśli nie wiesz nic o rozwiązywaniu równań za pomocą macierzy to sorry, ale nie podejmuję się robić wykładu.
Pozdrawiam.
Robi się macierz tak, jak z każdego innego układu równań - z czym masz tu konkretnie problem? Bo nadal nie wiem. Jeśli nie wiesz nic o rozwiązywaniu równań za pomocą macierzy to sorry, ale nie podejmuję się robić wykładu.
Pozdrawiam.
-
Mro0ozo
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 21 lut 2010, o 22:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 3 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
Ale jabym to zrobił, ale nie mam notaktek. Jak mi ktoś to rozwiąże to odrazu mi sie przypomni i zrobie inne:)
-
Andreas
- Użytkownik
- Posty: 1130
- Rejestracja: 1 lis 2008, o 22:33
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 156 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
musisz uporządkować układ równań (w tym przypadku już nie trzeba, mówię ogólnie), układasz macierz, obliczasz rząd tej macierzy, obliczasz rząd macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych. Jeśli są one równe to układ ma rozwiązanie.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozwiązać układ korzystając z tw. Kroneckera-Capellego
W tym przypadku wystarczy metoda podstawiania
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ x-y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+z=1 \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=1-2y \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left(x,y,z \right)= \left(y,y,1-2y \right)}\)
BettyBoo, wykładu może nie trzeba robić ale można mu napisać co ma zrobić
tak krok po kroku
Rozwiązywanie układów równań składa się z trzech głównych etapów
I Sprawdzenie czy rozwiązanie istnieje (twierdzenie Kroneckera Capellego)
II Sprowadzienie układu równań liniowych do postaci Cramera (wyznacznik macierzy głównej niezerowy)
III Rozwiązanie układu Cramera
1 Liczysz rzędy macierzy głównej układu i macierzy rozszerzonej
(Aby obliczyć rzędy możesz albo zliczać ilość liniowo niezależnych wierszy albo
sprowadzić macierz do postaci schodkowej za pomocą eliminacji)
2. Jeżeli rzędy macierzy są równe to rozwiązanie istnieje (nie należy do zbioru pustego)
Wybierasz wtedy podmacierz kwadratową stopnia r (r to rząd macierzy)
o niezerowym wyznaczniku
3. Nadmiarowe niewiadome przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
a nadmiarowe równania skreślasz
Układ Cramera możesz rozwiązać na kilka sposobów
1. Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczasz wybraną niewiadomą i
podstawiasz do pozostałych równań
Otrzymasz wtedy układ równań ale już o mniejszej ich ilości
2. Metoda wyznacznikowa Cramera
Obliczasz wyznacznik główny układu następnie wyzaczniki macierzy powstałych
z zastąpienia i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych następnie obliczone wyznaczniki
dzielisz przez wyznacznik główny
\(\displaystyle{ x_{i}= \frac{\det{A_{i}}}{\det{A}}}\)
3. Metoda eliminacji Gaussa
Sprowadzasz macierz do postaci trójkątnej za pomocą operacji elementarnych na wierszach
następnie układ trójkątny rozwiązujesz podstawiając kolejno wyliczone wartości
Operacje elementarne
1. Zamiana wierszy (odpowiednich elementów)
2. Dodanie elementów jednego wiersza do odpowiednich elementów drugiego wiersza
3. Pomnożenie elementów wiersza przez skalar (różny od zera)
4. Metoda równania macierzowego Ax=B
\(\displaystyle{ Ax=B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}Ax=A^{-1}B}\)
\(\displaystyle{ x=A^{-1}B}\)
Odwracanie macierzy
Podam tutaj dwie najbardziej popularne metody odwracania macierzy
1 Metoda wyznacznikowa
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}} \cdot \det{ \left(A^{D} \right) ^T}}\)
\(\displaystyle{ a^{D}_{ij}= \left(-1 \right)^{i+j}\det{A_{ij}}}\)
\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz powstała ze skreślenia i-tego wiersza i j-tej kolumny
2. Metoda eliminacji
\(\displaystyle{ \left[A|I \right] \rightarrow \left[I|A^{-1} \right]}\)
Lewy blok tej macierzy sprowadzamy do macierzy jednostkowej
wykonując operacje elementarne na całej macierzy (te same co w eliminacji Gaussa)
Gdy lewy blok powyższej macierzy przyjmie postać macierzy jednostkowej
prawy blok macierzy przyjmie postać macierzy odwrotnej
5 Metoda rozkładu macierzy
1. Metoda rozkładu LU=PA (rozkład trójkątny)
Dokonujemy rozkładu macierzy
(jak rozłożyć macierz napisałem w kompendium ,Można też zajrzeć na ważniaka)
Gdy już mamy rozkład LU rozwiązujemy dwa układy trójkątne
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=PB \\ Ux=y \end{cases}}\)
2. Metoda rozkładu QR (rozkład ortogonalno trójkątny)
Gdy już rozłożymy macierz rozwiązujemy dwa układy
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=Q^{T}B \\ Rx=y \end{cases}}\)
BettyBoo nic by się złego nie stało gdybyś umieściła wykład na ten temat w kompendium
Ja sam na przykład jestem ciekaw jak dokonać rozkładu QR wiem że można
tego dokonać za pomocą ortogonalizacji Grama Schmidta (ale jak to już nie)
Poza tym przydałoby się opisać jeszcze ważniejsze metody iteracyjne
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ x-y=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=1 \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2y+z=1 \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} z=1-2y \\ x=y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \left(x,y,z \right)= \left(y,y,1-2y \right)}\)
BettyBoo, wykładu może nie trzeba robić ale można mu napisać co ma zrobić
tak krok po kroku
Rozwiązywanie układów równań składa się z trzech głównych etapów
I Sprawdzenie czy rozwiązanie istnieje (twierdzenie Kroneckera Capellego)
II Sprowadzienie układu równań liniowych do postaci Cramera (wyznacznik macierzy głównej niezerowy)
III Rozwiązanie układu Cramera
1 Liczysz rzędy macierzy głównej układu i macierzy rozszerzonej
(Aby obliczyć rzędy możesz albo zliczać ilość liniowo niezależnych wierszy albo
sprowadzić macierz do postaci schodkowej za pomocą eliminacji)
2. Jeżeli rzędy macierzy są równe to rozwiązanie istnieje (nie należy do zbioru pustego)
Wybierasz wtedy podmacierz kwadratową stopnia r (r to rząd macierzy)
o niezerowym wyznaczniku
3. Nadmiarowe niewiadome przenosisz do kolumny wyrazów wolnych
a nadmiarowe równania skreślasz
Układ Cramera możesz rozwiązać na kilka sposobów
1. Metoda podstawiania
Z jednego równania wyznaczasz wybraną niewiadomą i
podstawiasz do pozostałych równań
Otrzymasz wtedy układ równań ale już o mniejszej ich ilości
2. Metoda wyznacznikowa Cramera
Obliczasz wyznacznik główny układu następnie wyzaczniki macierzy powstałych
z zastąpienia i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych następnie obliczone wyznaczniki
dzielisz przez wyznacznik główny
\(\displaystyle{ x_{i}= \frac{\det{A_{i}}}{\det{A}}}\)
3. Metoda eliminacji Gaussa
Sprowadzasz macierz do postaci trójkątnej za pomocą operacji elementarnych na wierszach
następnie układ trójkątny rozwiązujesz podstawiając kolejno wyliczone wartości
Operacje elementarne
1. Zamiana wierszy (odpowiednich elementów)
2. Dodanie elementów jednego wiersza do odpowiednich elementów drugiego wiersza
3. Pomnożenie elementów wiersza przez skalar (różny od zera)
4. Metoda równania macierzowego Ax=B
\(\displaystyle{ Ax=B}\)
\(\displaystyle{ A^{-1}Ax=A^{-1}B}\)
\(\displaystyle{ x=A^{-1}B}\)
Odwracanie macierzy
Podam tutaj dwie najbardziej popularne metody odwracania macierzy
1 Metoda wyznacznikowa
\(\displaystyle{ A^{-1}= \frac{1}{\det{A}} \cdot \det{ \left(A^{D} \right) ^T}}\)
\(\displaystyle{ a^{D}_{ij}= \left(-1 \right)^{i+j}\det{A_{ij}}}\)
\(\displaystyle{ A_{ij}}\) macierz powstała ze skreślenia i-tego wiersza i j-tej kolumny
2. Metoda eliminacji
\(\displaystyle{ \left[A|I \right] \rightarrow \left[I|A^{-1} \right]}\)
Lewy blok tej macierzy sprowadzamy do macierzy jednostkowej
wykonując operacje elementarne na całej macierzy (te same co w eliminacji Gaussa)
Gdy lewy blok powyższej macierzy przyjmie postać macierzy jednostkowej
prawy blok macierzy przyjmie postać macierzy odwrotnej
5 Metoda rozkładu macierzy
1. Metoda rozkładu LU=PA (rozkład trójkątny)
Dokonujemy rozkładu macierzy
(jak rozłożyć macierz napisałem w kompendium ,Można też zajrzeć na ważniaka)
Gdy już mamy rozkład LU rozwiązujemy dwa układy trójkątne
\(\displaystyle{ \begin{cases} Ly=PB \\ Ux=y \end{cases}}\)
2. Metoda rozkładu QR (rozkład ortogonalno trójkątny)
Gdy już rozłożymy macierz rozwiązujemy dwa układy
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=Q^{T}B \\ Rx=y \end{cases}}\)
BettyBoo nic by się złego nie stało gdybyś umieściła wykład na ten temat w kompendium
Ja sam na przykład jestem ciekaw jak dokonać rozkładu QR wiem że można
tego dokonać za pomocą ortogonalizacji Grama Schmidta (ale jak to już nie)
Poza tym przydałoby się opisać jeszcze ważniejsze metody iteracyjne