Cześć .Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiazaniu takiego zadania?
Mam znaleźć wektory własne i wartości własne macierzy
B=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}}\)
a następnie wybrać trzy ortonormalne wektory własne oraz zbudować z nich unitarną macierz U diagonalizującą macierz B poprzez transformację podobieństwa \(\displaystyle{ U ^{\star} BU= \Lambda}\).
i obliczyć macierz \(\displaystyle{ \Lambda}\)
\(\displaystyle{ U ^{\star}}\)- sprzężenie hermitiwskie
Mogłam się pomylić w obliczeniach. Bardziej zależałoby mi na sprawdzeniu i wytłumaczeniu schematu rozwiązywania tego typu zadań.
det B=\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-\lambda&1&1\\1&1-\lambda&1\\1&1&1-\lambda\end{bmatrix}}\)=0
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{3}=3}\)
dla \(\displaystyle{ \lambda _{1,2}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}* \left[ x y z \right]}\)=0
x+y+z=0
y=\(\displaystyle{ \alpha}\)
z=\(\displaystyle{ \beta}\)
\(\displaystyle{ \left[xyz \right]=\alpha \left[-1 1 0 \right]+\beta \left[ -1 0 1\right]}\)
\(\displaystyle{ u _{1}}\)=\(\displaystyle{ \alpha \left[ -1 1 0\right]= \frac{1 }{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right]}\)
\(\displaystyle{ u _{2}=\beta \left[-1 0 1 \right] = \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 0 1\right]}\)
mam teraz zortogonalizować wektory \(\displaystyle{ u _{1} i u _{2}}\), czy moge je poprostu w takiej formie włożyć w macierz U ? wtedy U= \(\displaystyle{ \left[ u _{1} u_{2} u _{3} \right]}\) (wektor \(\displaystyle{ u _{3}}\)obliczam w dalszej części)
dla \(\displaystyle{ \lambda =3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{bmatrix}* \left[ x y z \right]}\)=0
-2x+y +z=0
x+y -2z=0
\(\displaystyle{ y=\gamma}\)
-3x+3z=0
\(\displaystyle{ x+\gamma-2z=0}\)
x=z=\(\displaystyle{ \gamma}\)
\(\displaystyle{ u _{3} = \gamma \left[1 1 1 \right] = \frac{1}{ \sqrt{3} } \left[ 1 1 1\right]}\)
czy w tym wypadku \(\displaystyle{ U ^{\star}BU=U ^{-1}BU}\)?
Diagonalizacja macierzy
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Diagonalizacja macierzy
Wartości własne masz dobrze, ale co robisz dalej to nie wiem
Wektory własne związane z tą samą wartością własną wcale nie muszą być ortogonalne - i Twoje dla 0 nie są. Trzeba je zortogonalizować, a potem jeszcze normalizacja.
Natomiast wektory własne związane z różnymi wartościami własnymi są między sobą z definicji ortogonalne. Zatem wektor własny dla 3 wystarczy zortonormalizować.
Wówczas tak przygotowane wektory są ortonormalne, więc są kolejnymi kolumnami macierzy \(\displaystyle{ U}\).
Macierz, o którą chodzi w zadaniu, musi być ortogonalna (czyli jej kolumnami będą wektory ortonormalne). Ponieważ mają one współrzędne rzeczywiste, to sprzężenie hermitowskie będzie po prostu transponowaniem (co w przypadku macierzy ortogonalnych oznacza to samo, co odwrotność).
Wypadałoby jeszcze napisać, jak wygląda macierz B.
Pozdrawiam.
Wektory własne związane z tą samą wartością własną wcale nie muszą być ortogonalne - i Twoje dla 0 nie są. Trzeba je zortogonalizować, a potem jeszcze normalizacja.
Natomiast wektory własne związane z różnymi wartościami własnymi są między sobą z definicji ortogonalne. Zatem wektor własny dla 3 wystarczy zortonormalizować.
Wówczas tak przygotowane wektory są ortonormalne, więc są kolejnymi kolumnami macierzy \(\displaystyle{ U}\).
Macierz, o którą chodzi w zadaniu, musi być ortogonalna (czyli jej kolumnami będą wektory ortonormalne). Ponieważ mają one współrzędne rzeczywiste, to sprzężenie hermitowskie będzie po prostu transponowaniem (co w przypadku macierzy ortogonalnych oznacza to samo, co odwrotność).
Wypadałoby jeszcze napisać, jak wygląda macierz B.
Pozdrawiam.
Diagonalizacja macierzy
Po wartościach własnych próbowałam obliczyć wektory własne. w obliczeniach \(\displaystyle{ \alpha , \beta, \gamma}\) przyjęłam za parametry. Ale pewnie źle je obliczyłam.
Jednak przyjmując tamte dane liczbowe policze ortogonalizacje żeby sprawdzić czy dobrze zrozumiałam.
czyli dla wartości własnych zdegenerowanych muszę sprawdzić czy wektory które mi wyszły są do siebie prostopadłe czyli iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \langle u _{1} \left| u _{2} \rangle=0}\)
czyli jesli \(\displaystyle{ u _{1}= \left[ -1 1 0\right] , u _{2}= \left[ -1 0 1\right]}\)
to
\(\displaystyle{ e _{1}= \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right]}\) wekror jednostkowy
\(\displaystyle{ u _{2}' = u_{2} -\langle e _{1} \left|u _{2} \rangle e _{1}= \left[ -1 0 1\right]-\langle \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right] \left| \left[ -1 0 1\right] \rangle \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right] = \frac{1}{2} \left[ -1 -1 2 \right]}\)
\(\displaystyle{ e _{2}= \frac{1}{ \sqrt{3} } \left[ -1 -1 2\right]}\)
jest różnica gdy przemienie wektory ? czyli najpierw znormalizuje \(\displaystyle{ u _{2}}\) a póżniej poslugując sie nim i ortogonalizacją oblicze wektor jednostkowy \(\displaystyle{ e _{1}}\)?
dopisując jeszcze \(\displaystyle{ e _{3}}\)od\(\displaystyle{ \lambda _{3} =3}\) mamy U=\(\displaystyle{ \left[e _{1} e _{2} e _{3} \right]}\)
Jednak przyjmując tamte dane liczbowe policze ortogonalizacje żeby sprawdzić czy dobrze zrozumiałam.
czyli dla wartości własnych zdegenerowanych muszę sprawdzić czy wektory które mi wyszły są do siebie prostopadłe czyli iloczyn skalarny \(\displaystyle{ \langle u _{1} \left| u _{2} \rangle=0}\)
czyli jesli \(\displaystyle{ u _{1}= \left[ -1 1 0\right] , u _{2}= \left[ -1 0 1\right]}\)
to
\(\displaystyle{ e _{1}= \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right]}\) wekror jednostkowy
\(\displaystyle{ u _{2}' = u_{2} -\langle e _{1} \left|u _{2} \rangle e _{1}= \left[ -1 0 1\right]-\langle \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right] \left| \left[ -1 0 1\right] \rangle \frac{1}{ \sqrt{2} } \left[ -1 1 0\right] = \frac{1}{2} \left[ -1 -1 2 \right]}\)
\(\displaystyle{ e _{2}= \frac{1}{ \sqrt{3} } \left[ -1 -1 2\right]}\)
jest różnica gdy przemienie wektory ? czyli najpierw znormalizuje \(\displaystyle{ u _{2}}\) a póżniej poslugując sie nim i ortogonalizacją oblicze wektor jednostkowy \(\displaystyle{ e _{1}}\)?
dopisując jeszcze \(\displaystyle{ e _{3}}\)od\(\displaystyle{ \lambda _{3} =3}\) mamy U=\(\displaystyle{ \left[e _{1} e _{2} e _{3} \right]}\)
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Diagonalizacja macierzy
Wektory własne są OK. Możesz je zamienić kolejnością, jeśli Ci tak wygodniej. \(\displaystyle{ e_2}\) coś nie bardzo jest, długość nie jest równa 1 (powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\) w mianowniku). Podane wektory są kolumnami macierzy \(\displaystyle{ U}\), nie wierszami.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.