Algorytm (eliminacja) Gaussa

Mufas · Post autor: **Mufas** » 21 lut 2010, o 17:16

Witam mam pytanie jak poprawnie powinna wyglądać eliminacja Gaussa? W jednych podręcznikach jest napisane, że wystarczy doprowadzić macierz do postaci trójkątnej górnej i potem już możemy sobie podstawiać zaczynając od \(\displaystyle{ x_{4} \rightarrow x_{3} =dana liczba+x_{4} \rightarrow (...)}\). Inna wersja mówi natomiast, że konieczne jest uzyskanie najpierw macierzy trójkątnej górnej z jedynkami na głównej przekątnej, a następnie doprowadzenie do postaci jednostkowej i wtedy od razu możemy odczytać wszystkie wartości. Z góry dziękuje za pomoc.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 21 lut 2010, o 17:24

Przede wszystkim, nie zawsze otrzymuje się postać trójkątną czy też jednostkową!! To jest dość szczególny przypadek.

Generalnie celem algorytmu Gaussa jest otrzymanie postaci półnormalnej (czyli schodkowej, w której wiodącymi elementami są jedynki), chociaż niektórzy zatrzymują się na postaci schodkowej, a niektórzy idą dalej i otrzymują postać normalną. Tą ostatnią wersję nazywa się często algorytmem Gaussa-Jordana.

Pozdrawiam.

Mufas · Post autor: **Mufas** » 21 lut 2010, o 19:10

No, ale do postaci trójkątnej możemy sprowadzić prawie zawsze. Ewentualnie może się nie zgadzać ostatni "schodek" i może wyjść np: 0=9. Czyli jeżeli w treści zadania jest: "Rozwiąż równanie korzystając z metody eliminacji" możemy użyć postaci schodkowej i nie musimy kontynuować operacji na macierzy? Mam kilka podręczników i w tym od prof Z. Skoczylasa (pwr) każdy przypadek jest rozwiązywany przy użyciu macierzy jednostkowej... Czym musi się charakteryzować dana macierz, żeby nie dało się zrobić nic ponad macierz schodkową? (w ww podręczniku dzieją się różne cuda, ale zawsze jest to postać jednostkowa)?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 21 lut 2010, o 19:13

Zaraz zaraz, wydaje mi się, że Ci się trochę nomenklatura pomyliła. Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, która ma 1 na przekątnej (głównej), a 0 wszędzie indziej. A przecież nie każda macierz jest kwadratowa, nie?? Więc nie zawsze jesteś w stanie otrzymać macierz jednostkową.

Za to każdą macierz można sprowadzić do postaci schodkowej, półnormalnej i normalnej - więc zawsze da się coś zrobić ponad postać schodkową.

Pozdrawiam.

Mufas · Post autor: **Mufas** » 21 lut 2010, o 19:18

No faktycznie, ale oczywiście chodziło mi o macierz kwadratową, bo u nas na ekonomii raczej nie mamy jakichś bardzo trudnych przypadków Ale proszę o odpowiedź, czy jeśli w poleceniu mamy: "Rozwiąż równanie korzystając z metody eliminacji" i jest to macierz kwadratowa 4x4 to czy możemy doprowadzić ja tylko do postaci trójkątnej górnej i następnie przejść już do wyliczania niewiadomych?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 21 lut 2010, o 19:27

Można i tak. Wówczas po prostu wykonujesz więcej operacji na samym układzie, a mniej na macierzy (nie robisz 1).

Pozdrawiam.