Macierz z liczbą zespoloną

mudvane · Post autor: **mudvane** » 17 lut 2010, o 23:19

Mam takie oto zadanie

Obliczyć

\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccccc}
1 & z^{2} & z \\
z & 1 & z^{2} \\
z^{2} & z & 1
\end{array} \right|}\)

dla

\(\displaystyle{ z=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Uprzejmie proszę o rozwiązanie. Z góry dziękuję

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 17 lut 2010, o 23:21

A problem to? Metoda Sarrusa i liczysz.

Szemek · Post autor: **Szemek** » 17 lut 2010, o 23:43

Swoją drogą, ciekawą własność mają wyznaczniki macierzy, gdzie wiersze (lub kolumny) są permutacjami zbioru zawierającego co raz to wyższe potęgi danej liczby.

mudvane, jaki Ci wyszedł wyznacznik?

mudvane · Post autor: **mudvane** » 18 lut 2010, o 18:43

zatem metoda Sarrusa

\(\displaystyle{ W=1+z^{3}+z^{6}-z^{3}-z^{3}-z^{3}=1+\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^6-\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3=...}\)

i teraz to co do potęgi trzeciej ze wzoru skróconego mnożenia? pomocy...

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 18 lut 2010, o 22:55

\(\displaystyle{ 1+z^{3}+z^{6}-z^{3}-z^{3}-z^{3}= 1+z ^{6} -2z ^{3}}\)
I teraz wstawiasz. Korzystasz od razu ze wzoru de Moivrea

Szemek · Post autor: **Szemek** » 18 lut 2010, o 23:13

\(\displaystyle{ 1-2z^3+z^6 = (z^3-1)^2 \rightarrow z = \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\left[ \left( \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3 - 1 \right]^2 = ... = (-1-1)^2 = 4}\)