Wektory - dowód

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Mi?osz_Cz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2010, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała/Kraków
Podziękował: 1 raz

Wektory - dowód

Post autor: Mi?osz_Cz »

Witam
Mam dwa zadania, których nie potrafię zrobić, zasadniczo nie wiem jak to ugryźć. Wydaje mi się, że nie są trudne ale mimo wszystko nie wiem od czego zacząć.

1. Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c \in R^{3}}\), to \(\displaystyle{ (a+b) ^{2} + (a-b) ^{2} = 2( \left|a \right|^{2} + \left|b \right| ^{2})}\). Jaki jest sens geometryczny tej równości.

Może część pierwsza nie jest wymagająca ale z drugą nie mam pojęcia co zrobić, choć dla pewności z chęcią bym zobaczył poprawne rozwiązanie całości

2. Dowieść, że wektory \(\displaystyle{ a,b \in R^{3}}\) są równoległe i mają ten sam zwrot wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \left|a+b \right|= \left|a \right|+ \left|b \right|}\).

Tutaj wiem jedynie, że wektory są równoległe gdy rząd macierzy współczynników wektorów jest równy 1. Bądź też znajdę takie \(\displaystyle{ \lambda}\), że będę mógł przedstawić jeden wektor za pomocą iloczynu \(\displaystyle{ \lambda}\)i drugiego wektora. (czyli będą liniowo zależne i nie będą zerowe).
Tylko, że nie wiem czy w tym przypadku jest to w jakikolwiek sposób przydatne.

Dzięki.
Awatar użytkownika
jarzabek89
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1337
Rejestracja: 11 lis 2007, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 181 razy

Wektory - dowód

Post autor: jarzabek89 »

\(\displaystyle{ (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}=2a^{2}+2b^{2}=2(a^{2}+b^{2})}\)
teraz zauważ że (po prawej stronie):
\(\displaystyle{ |a|^{2}=a^{2}}\)
wartość bezwzględna tutaj nam nic nie robi więc można ją pominąć, i dochodzimy do tego, że:
\(\displaystyle{ L=P}\)
Mi?osz_Cz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2010, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała/Kraków
Podziękował: 1 raz

Wektory - dowód

Post autor: Mi?osz_Cz »

No tak, to się zgadza, tak samo mnie wychodziło tylko, teraz co "sensem geometrycznym". No i jeszcze to drugie zadanie.
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Wektory - dowód

Post autor: Kamil_B »

Zad.1

Tam w tym pierwszym nie powinno byc modułu przy tych wyrażeniach po tej lewej stronie?
A co do interpretacji gemetrycznej- narysuj sobie dwa wektory \(\displaystyle{ a,b}\) i równoległobok rozpięty przez nie. Terraz zastanów się jak wyrazić przekatne w zależności od tych \(\displaystyle{ a ,b}\)

Zad.2

\(\displaystyle{ \Rightarrow}\) Jeśli są rónoległe to dla pewnej stałej \(\displaystyle{ \lambda}\) mamy \(\displaystyle{ a=\lambda b}\). Wstawiasz i sprawdzasz że lewa strona równa się prawej.
\(\displaystyle{ \Leftarrow}\) Na odwrót, niech zachodzi \(\displaystyle{ \left|a+b \right|= \left|a \right|+ \left|b \right|}\). Pokazemy że \(\displaystyle{ xa+yb=0 \ \Rightarrow \ x=y=0}\).
Nakładamy modył i mamy więc \(\displaystyle{ \left| xa+yb\right| =0}\). Stąd korzystając z załozenia mamy \(\displaystyle{ \left|xa \right| + \left|yb \right| =0}\) czyli musi być \(\displaystyle{ \left| x\right|= \left| y\right|=0}\) o co chodziło.
Mi?osz_Cz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2010, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała/Kraków
Podziękował: 1 raz

Wektory - dowód

Post autor: Mi?osz_Cz »

W treści zadania nie mam tam modułu . Zadanie pierwsze chyba rozumiem, ale w drugim o co chodzi ze zwrotem?
Kamil_B
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1958
Rejestracja: 16 kwie 2009, o 16:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 361 razy

Wektory - dowód

Post autor: Kamil_B »

Jeśli tam nie ma modulu to zapis jest trochę nietrafiony, no chyba że "potęgowanie" wektorów to branie ich iloczynu skalarnego, ale dziwne że po prawej stronie nie ma wtedy po prostu \(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)}\).
Jak dla mnie tam powinny byc modułu- inaczej jest bez sensu

Co do zad.2 to ten sam zwrot oznacza, ze stała \(\displaystyle{ \lambda}\) , której użyłem jest dodatnia
Mi?osz_Cz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 17 lut 2010, o 17:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała/Kraków
Podziękował: 1 raz

Wektory - dowód

Post autor: Mi?osz_Cz »

Tak, zgadza się potęga wektora to jest jego iloczyn skalarny . Dzięki wielkie za pomoc.
ODPOWIEDZ