Odwzorowanie liniowe - pochodne (?!)

[FlaQ]

Zadanie z egzaminu:

Niech \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}[x] _{2} \rightarrow \mathbb{R}[x] _{2}}\) będzie odwzrowaniem takim, że:

\(\displaystyle{ (f(P))(x) = - \frac{(x+1)^{2}}{2} P''(x) + (x+1) P'(x),}\) gdzie \(\displaystyle{ P \in \mathbb{R}[x] _{2}}\)

- Wykaż, że f jest odwzorowaniem liniowym;


Jak się za to w ogóle zabrać? Wiem, jak udowodnić, że funkcja jest odwzorowaniem liniowym, ale w tym przypadku...?
Trzeba coś podstawić za pochodne P(x) czy jak?

[Szemek]

Osobiście próbowałbym dowodzić w taki sposób, korzystając z definicji odwzorowania liniowego
\(\displaystyle{ f(aP(x))=af(P(x)) \\
f(P(x)+P(y))=f(P(x))+f(P(y))}\)
Zastosowałem trochę inny zapis, bardziej dla mnie intuicyjny.