układ równań z czterema niewiadomymi

[zaxer]

mam do rozwiązania następujący układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x+y-3z-2u=1 \\ 2x-y-11z-8u=5 \\ -4x+2y+z+u=-4 \end{cases}}\)

etap pierwszy. buduję wyznacznik W oraz wyznacznik uzupełniony U

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{array}{cccc} -2 & 1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & -11 & -8 \\ -4 & 2 & 1 & 1 \end{array} \right|}\)

\(\displaystyle{ U = \left| \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -11 & -8 & 5 \\ -4 & 2 & 1 & 1 & -4 \end{array} \right|}\)

tutaj mam blokadę. wiem, że jeżeli wyznacznik \(\displaystyle{ W \neq 0}\) to wtedy stosuję Cramera, jeżeli jest = 0 to stosuję Kroneckera-Capelliego. Tylko jak mam obliczyć wyznacznik macierzy 3x4? (3x3 jest łatwo - metodą Sarrusa, 4x4 też łatwo bo mogę skorzystać z przekształceń (własności wyznaczników) i skorzystać z dopełnienia algebraicznego). Wyczytałem, że można wyciągnąć z tej macierzy "minor najwięszego stopnia" ale nie wiem co to dokładnie jest, jak to się robi, proszę o pomoc....

[miodzio1988]

Wyznacznik do macierzy niekwadratowej?? No nie zartuj....rzad macierzy. Poczytaj o tym

[zaxer]

ok, zatem ma być to macierz W oraz macierz uzupełniona U.
obojętne jest z których współczynników buduję minor? czy jest na to jakaś święta reguła?
wyciągam minor, obliczam jego wyznacznik i co dalej?

[miodzio1988]

I dalej to powolujesz się na twierdzenie o ktorym pisales i wiesz ile uklad ma rozwiazan. Pozniej Gauss i liczysz

[zaxer]

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & -11 & -8 & 5 \\ -4 & 2 & 1 & 1 & -4 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w2:=w2+w1}\)

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -14 & -10 & 4 \\ -4 & 2 & 1 & 1 & -4 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w3:=w3-(2 \cdot w1)}\)

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -14 & -10 & 4 \\ 0 & 0 & 7 & 5 & -2 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w3:=w3+(w2/2)}\)

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -14 & -10 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\)

czyli rzU = 2

wyznaczniki wyszły mi zerowe...

\(\displaystyle{ U = \left| \begin{array}{ccc} -2 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -8 \\ -4 & 2 & 1 \end{array} \right|=2+(-8)+32-(-8)-32-2=0}\)

\(\displaystyle{ W = \left| \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right|=2-2=0}\)

pomóżcie, naprawde ciężko mi jest zrozumieć algorytm obliczania takiego układu równań...

[miodzio1988]

Jesli dobrz liczyles ( rachunkow nie sprawdzam ) to \(\displaystyle{ rzU =2}\) . CO mowi zatem twierdzenie K-C? I tak czy siak jeszcze troszkę Gaussa trzeba i bedzie rozwiazanie

[zaxer]

Jesli dobrz liczyles ( rachunkow nie sprawdzam ) to \(\displaystyle{ rzU =2}\) . CO mowi zatem twierdzenie K-C?

równość rzędu macierzy W oraz rzędu macierzy uzupełnionej U jest warunkiem wystarczającym do rozwiązalności układu.... rzW będzie również wynosił 2, bo mamy takie same elementy w macierzy W jak i w U, więc będą to takie same wyliczenia....dobrze mówię

I tak czy siak jeszcze troszkę Gaussa trzeba i bedzie rozwiazanie

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -14 & -10 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ k1:=k1+(2 \cdot k2)}\)

\(\displaystyle{ U = \left[ \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & -3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & -14 & -10 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\)

[miodzio1988]

tylko na wierszach wykonujesz operacje...

[zaxer]

naprawdę nie widzę jak dalej mam tą macierz przekształcić za pomocą Gaussa... jak podać teraz ostateczny wynik?

[miodzio1988]

Poczyatj o macierzy wierszowo zredukowanej

[zaxer]

... acjaGaussa

[url=http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_schodkowa]Macierz schodkowa[/url]

oto materiały którymi staram się rozwiązać ten układ metodą Gaussa- powiesz mi prosze, jak liczyć aby uniknąć ułamków? można się wtedy łatwo pomylić, pozatym trudno się liczy...