Baza przestrzeni wielomianu

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 13:48

Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ (f_{1}, f_{2}, f_{3})}\) , gdzie \(\displaystyle{ f_{1}: x->2 , f_{2}: x->x+2, f_{3}:x->2x^{2}+1}\) tworzą bazę przestrzeni wielomianów postaci \(\displaystyle{ f:ax^{2}+bx+c}\) nad ciałem \(\displaystyle{ R}\)
Znaleźć współrzędne wektorów
a) \(\displaystyle{ f:x->x^{2}-x}\)

Proszę o pomoc bo w tym zadaniu kompletnie nie wiem o co chodzi. Nie mam żadnego przykładu w zeszycie w książkach też nic nie znalazłem.

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 14:06

Innymi słowy musisz sprawdzic czy zbiór \(\displaystyle{ \{ 2,x+2,2x^2+1\}}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{2}[x]}\) (wielomianów stopnia co najwyżej drugiego o współczynnikach rzeczywistych).
Znasz więc definicję bazy?

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 14:13

Definicje bazy znam
musz sprawdzić czy są liniowo niezależne i czy można je zapisać w postaci \(\displaystyle{ (x,y)= \alpha +\beta}\) tak mam w zeszycie

Coś pominąłem czy to wszystko ?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 14:15

Linowa niezależność + generowanie całej przestrzeni.

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 14:25

Kurde ale jak w tym zbiorze \(\displaystyle{ \{2,x+2,2x^2+1\}}\) sprawdzić niezależność ?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 14:27

Tak jak w każdym innym
Sprawdzasz czy istnieją niezerowe \(\displaystyle{ a,b,c}\) takie, że:

\(\displaystyle{ a(2)+b(x+2)+c(2x^2+1)=0}\)

Jak nie istnieją - mamy liniową niezależność.

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 14:43

Hmm i nadal z kumplem nie wiemy jak to.
Chcielismy to z delty policzyć taką że \(\displaystyle{ 2cx^{2}+bx+2a+2b+c=0}\)
Tyle ze nie mamy zadnych zalezonosci podanych i jestesmy w kropce

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 14:46

No a kiedy dwa wielomiany są równe ?
Mamy coś takiego:

\(\displaystyle{ 2cx^{2}+bx+2a+2b+c=0}\)

Czyli przyrównujemy współczynniki wielominaów po obu stronach równania:

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2c=0 \\ b=0 \\ 2a+2b+c=0\end{cases}}\)

I jakie jest rozwiązanie tego układu ?

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 14:52

Rozwiązaniem jest że \(\displaystyle{ a=b=c}\) czyli są liniowo niezależne

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 14 lut 2010, o 14:53

\(\displaystyle{ a=b=c=0}\) i wtedy mamy odpowiedz. Wazne ze są rowne zero

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 14:53

\(\displaystyle{ a=b=c=0 \Rightarrow}\) liniowo niezależne

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 15:05

Tak mój bład nie dopisałem że są równe 0 a jak sprawdzić czy generują przestrzeń ?

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 15:09

Generowanie przestrzeni= każdy wielomian z tej przestrzeni (czyli \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\)) da się zapisać jako kombinację liniową elementów z domniemanej bazy( czyli zbiooru \(\displaystyle{ \{2,x+2,2x^2+1\}}\) )
ZAtem trzeba sprawdzić czy istnieją \(\displaystyle{ d,e,f}\) takie, że:

\(\displaystyle{ ax^2+bx+c=2d+e(x+2)+f(2x^2+1)}\)

(\(\displaystyle{ a,b,c}\) są tutaj parametrami)

Drazu · Post autor: **Drazu** » 14 lut 2010, o 15:23

Szczerze to nie potrafie tego zrobić :/

Kamil_B · Post autor: **Kamil_B** » 14 lut 2010, o 15:26

Metoda taka sama jak przy liniowej niezależności- przzyrównujesz współczynniki przy obu stronach równania.
I pamiętaj, ze interesują nas \(\displaystyle{ d,e,f}\) ( w zależności od \(\displaystyle{ a,b,c}\)).