pytania- macierze

[sadbutterfly]

witam, mam dwa pytania, byłabym wdzięczna za pomoc, tak więc:
1. mam udowodnić że przestawienie wzajemne dwóch wierszy (kolumn)wyznacznika powoduje zmianę jego znaku. prosiłabym o w miarę dokładne wyjaśnienie.
2. do czego stosuje się macierze odwrotne?
Z góry dziękuję za odp i pozdrawiam

[miodzio1988]

1 Z definicji wyznacznika. Dowod łatwo znalezc.
2. do rozwiazywania układów rownan

[sadbutterfly]

a gdzie mogę to znaleźć? sprawdzałam chyba w trzech podręcznikach i nie było:(

[mcbob]

Znajdź definicję i wtedy zobaczysz że dowód wcale nie jest taki trudny.

[sadbutterfly]

z maty jestem naprawdę kiepska, czytałam już def..i nic. poszukam sobie jeszcze gdzieś odp na to pytanie, dzięki za odp na pytanie drugie, pozdrawiam:)

[mcbob]

Jeśli kojarzysz definicję i wiesz co co to są permutacje, transpozycje, znak permutacji to może ci się przyda taki krótki szkic dowodu:

Definicja wyznacznika macierzy:

\(\displaystyle{ det(A)= \sum_{\sigma \in S _{n} }^{} sgn(\sigma) \cdot a _{\sigma(1)1} \cdot a _{\sigma(2)2} \cdot ... \cdot a _{\sigma(n)n}}\)

Jeśli zamieniasz np.kolumny to robisz jedną transpozycję w każdej sumie, czyli znak permutacji w każdej sumie zmiana się z plusa na minus lub odwrotnie czyli możesz sobie wyciągnąć -1 przed nawias i masz stary wyznacznik.

Czyli załóżmy że zamieniamy kolumny c i d:

\(\displaystyle{ det(A)= \sum_{\sigma \in S _{n} }^{} sgn(\sigma) \cdot a _{\sigma(1)1} \cdot a _{\sigma(2)2} \cdot ...\cdot a _{\sigma(c)c}\cdot...\cdot a _{\sigma(d)d}\cdot...\cdot a _{\sigma(n)n}= \\= \sum_{\sigma \in S _{n} }^{} \left( -1\right) \cdot sgn(\sigma) \cdot a _{\sigma(1)1} \cdot a _{\sigma(2)2} \cdot ...\cdot a _{\sigma(c)d}\cdot...\cdot a _{\sigma(d)c}\cdot...\cdot a _{\sigma(n)n}=\\= \left( -1\right) \cdot \sum_{\sigma \in S _{n} }^{} sgn(\sigma) \cdot a _{\sigma(1)1} \cdot a _{\sigma(2)2} \cdot ...\cdot a _{\sigma(c)d}\cdot...\cdot a _{\sigma(d)c}\cdot...\cdot a _{\sigma(n)n}}\)

[sadbutterfly]

dziękuję :*