Wyznaczenie jądra i obrazu przekształcenia liniowego

[mayh90]

Witam

Otóż mam następujące zadanie:
Dane jest przekształcenie liniowe: \(\displaystyle{ f(x,y,z,t) = (-2x+y-t,x+z,-3y-z)}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker(f), Im(f)}\) oraz ich bazy.

Przeszukując forum wpadłem na pewien algorytm @Coda rozwiązywania takich zadań:
https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=11182

Chciałbym zapytać, czy algorytm ten rzeczywiście działa i prosić o sprawdzenie wyników powyższego zadania. Jeśli okaże się, że wszystko jest do bani, prosiłbym o jakąś wskazówkę jak się za nie zabrać w odpowiedni sposób . Ponadto - jak obliczyć bazy jądra i obrazu?

Wyniki:
\(\displaystyle{ Ker(f) = lin{(-1,0,1,-2)}}\)
\(\displaystyle{ Im(f) = lin{(0,1,-6,0),(1,0,-3,0),(0,0,-3,0)}}\)

Dziękuję z góry za wszelką pomoc i pozdrawiam
mayh90

[BettyBoo]

Działa - fajna metoda. Macierz, którą zapisujesz po prawej to transponowana macierz tego przekształcenia w obu bazach kanonicznych. Może tylko, dla większej jasności, lepiej zapisać macierz jednostkową po prawej (wówczas w zadaniu chodzi po prostu o znalezienie postaci schodkowej podanej macierzy, co mi się wydaje być nieco bardziej naturalne).

Wówczas eliminacja Gaussa na tej macierzy oznacza po prostu rozwiązywanie 3 układów równań o tej samej macierzy współczynników - czyli uzyskując po lewej (w oryginalnej metodzie - po prawej) wiersz zerowy, w drugiej części macierzy uzyskujesz "kolejne współrzędne wektora zerowego", czyli to, co jest w jądrze.

Eliminacja Gaussa dla obrazu (czyli pierwszej części tej macierzy) oznacza po prostu działanie na generatorach 0 w wyniku cego otrzymujesz znowu generatory.

Wobec tego, wektory, które otrzymujesz stanowią bazy w jądrze i obrazie (ponieważ ze sposobu otrzymania wynika ich liniowa niezależność).

Pozdrawiam.

[mayh90]

W takim razie jeżeli ostateczna wersja macierzy wygląda w ten sposób:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&0&0&1&0&-3&0 \\ 1&2&0&0&0&1&-6&0 \\ 0&1&0&1&0&0&-3&0 \\ -1&0&1&-2&0&0&0&0 \end {bmatrix}}\)

... to z których wartości tworzę bazy? Czy są to po prostu te same wektory co w jądrze i obrazie?

Pozdrawiam

[BettyBoo]

Obraz jest przecież podprzestrzenią w \(\displaystyle{ R^3}\), więc wektory w obrazie nie mogą mieć 4 współrzędnych! (nie zwróciłam uwagi na to wcześniej, skupiłam sie na metodzie). Coś tu dziwnego zrobiłeś...

Wyjściowa macierz wygląda tak (jeśli bardzo chcesz się trzymać oryginalnej wersji)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrr|rrr} 1&0&0&0&-2& 1&0\\ 0&1&0&0&0&1&-3 \\ 0&0&1&0&0&1&-1 \\ 0&0&0&1&-1&0&0 \end {array}\right]}\)

Przelicz to jeszcze raz. Wektory, które otrzymujesz w ten sposób i zgodnie z tym, co napisał Cod są liniowo niezależne, więc stanowią bazę (jedne w obrazie, drugie w jądrze).

Pozdrawiam.

[mayh90]

Ok, kwestię bazy rozumiem. Swój głupi błąd również .

A czy to możliwe, żeby \(\displaystyle{ Ker(f) = lin{(-1,5;0,5;1,5;2,5)}}\)?

[BettyBoo]

U mnie co innego wyszło, ale może się pomyliłam...Kolejność operacji:

\(\displaystyle{ w_1-2w_4\quad w_2-3w_3\quad w_2+2w_1}\)

Wtedy druga część drugiego wiersza wychodzi zerowa.

Pozdrawiam.

[mayh90]

Prawda. Działa. Wyszło .

Naprawdę wielkie dzięki za teorię i pomoc w przykładzie. A właściwie w przykładach, z drugim jeszcze drobne problemy, także do zobaczenia (mam nadzieję) w innym topicu .