formy kwadratowe

[9toml]

Mam problem, nie rozumie w ogole skad i jak sie wylicza te formy kwadratowe skojarzone z macierzami..
wiem ze nalezy skorzystac z tego wzoru \(\displaystyle{ Q(h)=\sum_{i, j-1}^{n}a_{ij} h_i h_j}\)

a) napisac forme kwadratowa skojarzoną z macierza \(\displaystyle{ A= \begin{array}{ccc} -6 & 3 & 2 \\ 3 & -6 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ \end{array}}\) mam kolejno podstawiac do tego wzoru? np za \(\displaystyle{ a_{11}}\) to by bylo \(\displaystyle{ -6h_1^2}\) ? A o co chodzi z tym j-1 w \(\displaystyle{ \sum_{i, j-1}^{n}}\) ?

b) \(\displaystyle{ Q(h_1,h_2)=8h_1h_2-h_2^2}\) przez jaka macierz jest generowana ta forma?

Na podpunkt b juz nie mam zadnego pomyslu...

Bardzo prosze o pomoc i jakis dokladne objasnienie jak sie to wylicza.. z gory dziekuje

[Zlodiej]

Jak dla mnie:

a) Ta macierz odwzorowuje forme postaci:

\(\displaystyle{ q(x_1,x_2,x_3)=-6x_1^2+6x_1x_2+4x_1x_3-6x_2^2+2x_2x_3-3x_3^2}\)

Ty masz sprowadzić to do postaci sum kwadratów.

Są 3 metody, które powinieneś znaleźć w wielu ksiązkach. Dla mnie najprostsza o ile wychodzą ładne wartości własne to taka:

Liczysz wielomian charakterystyczny macierzy A, następnie znajdujesz warotści własne i szukasz bazy dla każdej podprzestrzeni własnej. Mając te 3 wektory \(\displaystyle{ (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)}\) mamy wzór formy kwadratowej: \(\displaystyle{ q(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3)}\). Jak podstawisz to do wzoru wyznaczonego przez A powinienes otrzymac sume kwadratów. Macierz tj formy to poprostu wspolczynniki przy kwadratach postawione na przekątnej. Reszta jest 0.

Ogolnie to się nazywa diagonalizacja formy.


[Edycja] Chcialem tylko dodać, że ta baza musi być prostopadła.

b) Macierz musi być symetryczna, pozatym mając \(\displaystyle{ 2ah_ih_j}\) wpisujemy w macierzy a na miejscach i,j oraz j,i. Gdy i=j wpisujemy 2a na przekatnej i,i.

[9toml]

Jak dla mnie:

a) Ta macierz odwzorowuje forme postaci:

\(\displaystyle{ q(x_1,x_2,x_3)=-6x_1^2+6x_1x_2+4x_1x_3-6x_2^2+2x_2x_3-3x_3^2}\)

Ty masz sprowadzić to do postaci sum kwadratów.

to znaczy to juz jest odpowiedz do tego czy jeszcze trzeba cos liczyc dalej?

b) Macierz musi być symetryczna, pozatym mając \(\displaystyle{ 2ah_ih_j}\) wpisujemy w macierzy a na miejscach i,j oraz j,i. Gdy i=j wpisujemy 2a na przekatnej i,i.

wychodzi mi

\(\displaystyle{ A= \begin{array}{ccc} 0 & 4 \\ 4 & -1 \\ \end{array}}\)

czy to jest dobrze?

[Zlodiej]

W a napisałem, że to trzeba poddać diagonalizacji . Odnośnie b to masz dobrze.


PS. To się bardziej do działu algebra zalicza, przenosze.

[liu]

Zlodieju, a gdzie tam jest napisane, ze ma sprowadzic te forme do postaci kanonicznej?

[Zlodiej]

liu,

Napisac forme kwadratową.

Jak dla mnie suma kwadratów to własnie forma kwadratowa, a te iloczyny to jest funkcjinał dwuliniowy. Tym się różnią, że ta forma kwadratowa to iloczyn tyle ze zadany w innym układzie bazowym.

[liu]

Hmm ja zawsze spotykalem sie z nazewnictwem - forma kwadratowa to cos postaci \(\displaystyle{ \sum_{i,j=1, i\leq j}^n a_{ij} x_ix_j}\), a po sprowadzeniu do postaci \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n c_{ii}y_i^2}\) to byla postac kanoniczna formy:)

[Zlodiej]

Dobra, punkt dla Ciebie .

[liu]

No, ale jak sobie pocwiczy sprowadzanie do postaci kanonicznej przy okazji to mu tylko na zdrowie wyjdzie

[kogutto]

Jak się sprowadza do postaci kanonicznej? W poniedziałek mam egzamin i już nie zdąrzę wypożyczyć żadnych książek :/ Mógłby ktoś wytłumaczyć po kolei lub wrzucić jakiegoś skana z książki?

[liu]

Zlodiej wyzej napisal jedna z metod:)

[Zlodiej]

liu,

Spoko, a na GG podałem jeszcze 1. Więc ten problem uważam za zakończony ... Chyba, że nadal są jakieś wątpliwości.

[kogutto]

Tak, już wszystko w porządku :] Jeszcze raz dzięki :]