Zbadać określoność macierzy

[rondelek]

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{rrr}2&1&0\\3&4&1\\0&-1&2\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \sim}\) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&1&-2\end{array}\right]}\)

Minory

\(\displaystyle{ A _{1} =det \left[ 6\right] =6}\)

\(\displaystyle{ A _{2} =det \left[\begin{array}{rr}6&3\\3&4\end{array}\right]=15}\)

\(\displaystyle{ A _{3} =det\left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&1&-2\end{array}\right]=-36}\)

I teraz pytania:
- czy dobrze to robię?
- odp to: kryterium nie rozstrzyga o określoności macierzy?

[JankoS]

W tej drugiej macierzy jest chyba błąd. Jeżeli jest nią \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&-1&2\end{array}\right]}\), to jest ona dodatnio określona.

[rondelek]

Ja w tej \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&-1&2\end{array}\right]}\) pomnożyłem trzeci wiersz przez \(\displaystyle{ -1}\), żeby wyraz \(\displaystyle{ a _{23}}\) był taki sam jak wyraz \(\displaystyle{ a _{32}}\). Taki sposób miałem na zajęciach na minory.
Dlaczego ta \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&-1&2\end{array}\right]}\) jest określona dodatnio?

[JankoS]

Dlatego, że się pomyliłem i policzyłem z rozpędu, a nie powinienem, bo nie jest to macierz symetryczna.
Wracam do macierzy symetrycznej. Jak mi się wydaje z kryterium Sylwestra nic ne można wywnioskować. Rozważmy formę
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrr}x&y&z\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}6&3&0\\3&4&1\\0&-1&2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}x\\y\\z\end{array}\right]=6x^2+6xy+4y^2+2z^2=2 \left(3x^2+3xy+2y^2+z^2 \right)= \\=:F(x,y,z). \quad \forall [x,y,z] \neq [0,0,0] \ f(x,y,z)>0.}\).
Z ostatniego forma jest dodatnio określona.