"Oblicz wyznacznik macierzy"... ale co z tym "n"

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 12:15

Witam serdecznie !

Dostałem kilka zadań do rozwiązania głównie z rachunku macierzowego.. jedno jednak dosyć mnie zaskoczyło i nie wiem jak się za to zabrać... proszę o wskazówki.

Obliczyć wyznacznik macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&2& ... &2\\2&2&2& ... & 2\\2&2&3& ... & 2\\& & ... & & \\2&2&2& ... &n\end{bmatrix}}\)

Będę wdzięczny za jakąkolwiek pomoc
pozdrawim

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 12:18

eliminacje Gaussa wykonaj zeby doprowadzic macierz do postaci trojkątnej. Wtedy wyznacznikiem tej macierzy będą liczby stojące na przekatnej

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 12:43

OK, powstała mi macierz trójkątna, która wygląda tak:
(w4 - w3, w3 - w2, k1 - k2)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&2&2& ... &2\\0&2&2& ... & 2\\0&0&1& ... & 2\\& & ... & & \\0&0&0& ... &n-2\end{bmatrix}}\)

dobrze ? Nie wiem tak teraz mają się liczby na przekątnej do wyznacznika..
-1, 2, 1, n-2 ? help

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 12:47

no nie...........
Pamietaj, że Twoja macierz jest rozmiary \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n}\) . To Twoje tajemnicze n pokazuje Ci pewna zaleznosc. jak wygladaja kolejne wiersze i kolumny. Napisz sobie jeszcze kilka takich wierszy i zobacz co powienienes zrobic

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 13:00

kurczę, tak wygląda ta zależność ? tak wyglądają kolejne wiersze i kolumny - czy znowu coś pomieszałem ?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&2&2& ... &2\\2&2&2&2& ... & 2\\2&2&3&3& ... & 2\\2&2&3&3& ... & 2\\& & ... & & \\2&2&2&2& ... &n\end{bmatrix}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 13:01

Pomieszales. Tylko przekatna się zmienia. Reszta wyrazow to dwojki

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 13:05

aaaaa wiem już chyba !

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&2&2& ... &2\\2&2&2&2& ... & 2\\2&2&3&2& ... & 2\\2&2&2&4& ... & 2\\& & ... & & \\2&2&2&2& ... &n\end{bmatrix}}\)

tak ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 13:05

Brawo. Teraz robisz to co Ci mowilem i wyjdzie;]

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 13:15

To ekstra, a powiedz mi jedną rzecz - czy jak będę stosował eliminacje Gaussa ( nigdy tego nie robiłem więc posiłkuje się wikipedią ) to czy na przekątnej mają własnie zostać te cyfry 1, 2, 3, 4, ... n ? czy przekątna się pozmienia ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 13:32

Przekątna się pozmienia. Robisz operacje na wszystkich wyrazach wiersza

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 14:19

mam taką koncepcję, żeby odejmować 2 wiersz ( który składa się z samych dwójek ) macierzy od pozostałych wierszy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&2&2&2&2& ... &2\\2&2&2&2&2&2& ... & 2\\0&0&1&0&0&0& ... & 0\\0&0&0&2&0&0& ... & 0\\0&0&0&0&3&0& ... &0\\0&0&0&0&0&4& ... &0\end{bmatrix}}\)

i potem od pierwszej kolumny odjąć kolumnę drugą:

\(\displaystyle{ B=\begin{bmatrix} -1&2&2&2&2&2& ... &2\\0&2&2&2&2&2& ... & 2\\0&0&1&0&0&0& ... & 0\\0&0&0&2&0&0& ... & 0\\0&0&0&0&3&0& ... &0\\0&0&0&0&0&4& ... &0\end{bmatrix}}\)

uff - nie wiem czy tak jest OK ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 14:27

Wykonaj operację: \(\displaystyle{ w _{2}-2 w_{1}}\)
\(\displaystyle{ w _{3}-2 w_{1}}\)
itd
\(\displaystyle{ w _{n-1}-2 w_{1}}\)
\(\displaystyle{ w _{n }-2 w_{1}}\)
wtedy bedzie trojkatna macierz

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 14:48

Czyli ta macierz B nie jest OK ? - nie można teraz np zastosować rozwinięcia Laplace'a względem pierwszej kolumny ?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 lut 2010, o 14:50

Zrob tak jak ja mowię i bedziesz mial ladny wynik

noisebit · Post autor: **noisebit** » 10 lut 2010, o 16:46

no ok ale jak wykonam operację \(\displaystyle{ w _{2}-2 w_{1}}\) etc. to zamiast zer pojawią mi się z wierszach cyfry -2 a nie 0.... po za tym macierz B jest już przecie macierzą trójkątną czyż nie ?