rownania jednorodne i nie

[klonklonek]

czy ktoś może podać główne założenia równania jednorodnego i niejednorodnego.

[us3r]

Równaniem jednorodnym nazywamy równanie postaci:

\(\displaystyle{ y' = f( \frac{y}{x})}\)

Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x}}\) daje się ono sprowadzić do postaci równania o zmiennych rozdzielonych x oraz u. Wówczas:

\(\displaystyle{ y = u(x) x}\)

Korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji otrzymuję:

\(\displaystyle{ y' = u'x + u}\)

Natomiast przy równaniu niejednorodnym korzystamy z równania Bernouliego

Ogólna postać równania Bernouliego to

\(\displaystyle{ y' + p(x) y = q(x) y^r}\)

gdzie \(\displaystyle{ r\in\mathbb{R}}\), natomiast \(\displaystyle{ p(x)}\) oraz \(\displaystyle{ q(x)}\) to dowolne funkcje rzeczywiste.

Po obustronnym podzieleniu równania przez yr otrzymujemy równanie postaci

\(\displaystyle{ \frac{y'}{y^r} + p(x) y^{1-r} = q(x)}\)

Po zastosowaniu podstawienia \(\displaystyle{ z = y1 - r}\) otrzymujemy równanie liniowe niejednorodne.


Mam nadzieje,że pomogłem

pozdrawiam

_____
Pamiętaj o zamykaniu wyrażeń matematycznych w znacznikach \(\displaystyle{
[bolo]}\)