wyznaczanie bazy

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
mith
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 5 paź 2009, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy

wyznaczanie bazy

Post autor: mith »

ZADANIE 1:
współrzędne wektorów\(\displaystyle{ x+1,x-1,x^2}\) w pewnej bazie \(\displaystyle{ R_2 [x]}\) wynoszą odpowiednio : \(\displaystyle{ (1,2,0),(0,1,2,),(1,0,-3)}\) znaleźć tą baze.
a więc tak, zapisuje macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&0 | x+1\\0&1&2 |x-1\\1&0&-3|x^2\\\end{array}\right]}\)
macierz po lewej stronie doprowadzam do postaci macierzy jednostkowej, a wielomiany które powstaną po prawej stronie są bazą??




ZADANIE 2:
sprawdzić czy macierze: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&2\\\end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}0&2\\0&0\\\end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}2&-4\\3&4\\\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}0&0\\0&1\\\end{array}\right]}\) tworzą bazę przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ M_2[R]}\)

tutaj badam liniową niezależność tych wektorów, i wszystkie które są liniowo niezależne tworzą baze??


ZADANIE 3:
Podać wartości parametru m dla których przestrzeń rozwiązań układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x -y +z -t =0 \\ -x + my - z + t = 0 \\ x - y + mz - mt = 0 \end{cases}}\)ma największy wymiar, wyznaczyć bazę tej przestrzeni.

i tutaj ja bym robił w następujący sposób: rozpisał macierz współczynników, największy wymiar przestrzeń będzie miała wtedy kiedy rząd tej macierzy będzie równy 3=> wyznaczę wartości parametru m dla których rz A = 3 podstawiając m do macierzy bazą będa wektory z niezerowego minora 3x3?



nie interesuje mnie rozwiązanie tych zadań jedynie napisanie opinii nt moich sugerowanych rozwiązań ( tak, nie, jesli nie to w jaki sposób to zrobić dobrze)

Pozdrawiam mith.
BettyBoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5356
Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gliwice
Pomógł: 1381 razy

wyznaczanie bazy

Post autor: BettyBoo »

1) tak

2) nie; wymiar tej przestrzeni jest równy 4, trzeba wiec tylko zbadać, czy podane wektory są liniowo niezależne,; jeśli tak - to stanowią bazę, jeśli nie, to nie.

3) nie; przestrzeń rozwiązań będzie miała największy wymiar wtedy, gdy rząd tej macierzy będzie najmniejszy (rząd to wymiar obrazu, a przestrzeń rozwiązań to jądro); proponuję zacząć od det=0, a potem sprawdzić te przypadki, które z tego wynikną.

Pozdrawiam.
ODPOWIEDZ