Wyznaczyć wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ p \in R}\), dla których układ równań ma jedno rozwiązanie. Dla pozostałych wartości rozwiązać eliminacją Gaussa.
\(\displaystyle{ \begin{cases} py - z = 0\\px + y = p\\px + z = 1\end{cases}}\)
Rozwiązuje to dla jakiego parametru przez własność wyznacznika ( ma być równy 0 ) , mam problem z tym Gaussem .
Układ równań z parametrem , Gauss
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Układ równań z parametrem , Gauss
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &p&-1&0 \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{1}:=w_{1}+w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
p &p&0&1 \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{1}:=w_{1}-p \cdot w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
p-p^{2} &0&0&1-p^{2} \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
Pierwszy przypadek:
\(\displaystyle{ p-p^{2}=0}\)
a. \(\displaystyle{ p=0}\)
Układ przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &0&0&1 \\
0 &1&0&0 \\
0 &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
i staje się oczywiście układem sprzecznym.
b. \(\displaystyle{ p=1}\)
Układ przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &0&0&0 \\
0 &1&0&0 \\
0 &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
i widać, ze jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x\in \Re, y=0,z=1}\)
Drugi przypadek:
\(\displaystyle{ p-p^{2} \neq 0}\)
W takim wypadku możemy dokonać operacji \(\displaystyle{ w_{1}:=\frac{w_{1}}{p-p^{2}}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0&\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}:=w_{3}-p \cdot w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0&\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
p &1&0&p \\
0 &0&1&1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{2}:=w_{2}-p \cdot w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0& \frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
0 &1&0& p-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
0 &0&1& 1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
\end{array}\right]}\)
i widzimy, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}}, p-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}}, 1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \right)}\)
0 &p&-1&0 \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{1}:=w_{1}+w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
p &p&0&1 \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{1}:=w_{1}-p \cdot w_{2}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
p-p^{2} &0&0&1-p^{2} \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
Pierwszy przypadek:
\(\displaystyle{ p-p^{2}=0}\)
a. \(\displaystyle{ p=0}\)
Układ przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &0&0&1 \\
0 &1&0&0 \\
0 &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
i staje się oczywiście układem sprzecznym.
b. \(\displaystyle{ p=1}\)
Układ przybiera postać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
0 &0&0&0 \\
0 &1&0&0 \\
0 &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
i widać, ze jego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x\in \Re, y=0,z=1}\)
Drugi przypadek:
\(\displaystyle{ p-p^{2} \neq 0}\)
W takim wypadku możemy dokonać operacji \(\displaystyle{ w_{1}:=\frac{w_{1}}{p-p^{2}}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0&\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
p &1&0&p \\
p &0&1&1 \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{3}:=w_{3}-p \cdot w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0&\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
p &1&0&p \\
0 &0&1&1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ w_{2}:=w_{2}-p \cdot w_{1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc|c}
1 &0&0& \frac{1-p^{2}}{p-p^{2}} \\
0 &1&0& p-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
0 &0&1& 1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \\
\end{array}\right]}\)
i widzimy, że układ ma dokładnie jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ \left(\frac{1-p^{2}}{p-p^{2}}, p-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}}, 1-\frac{p(1-p^{2})}{p-p^{2}} \right)}\)