W przestrzeni \(\displaystyle{ P^4_{| \mathbb{R}}}\) wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej 3 dana jest baza:
\(\displaystyle{ p_0(t) = 1 + t}\)
\(\displaystyle{ p_1(t) = 1 - t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t) = t^2 + t^3}\)
\(\displaystyle{ p_3(t) = t^2 - t^3}\)
Wyznacz bazę do niej sprzężoną w \(\displaystyle{ (P^4_{| \mathbb{R}})^*}\).
Jak się do tego zabrać?-- 7 lutego 2010, 22:58 --Dobra, to chyba będzie miało jakiś sens
Wiemy, że bazę sprzężoną do bazy wielomianów \(\displaystyle{ [1,t,t^2,...,t^{n-1}]}\) tworzą funkcjonały \(\displaystyle{ [s_1,s_2,...,s_{n-1}]}\) zadane wzorem:
\(\displaystyle{ s_k(p) = \frac{p^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}}\)
Zapiszmy teraz bazę wielomianów w macierzy, w której kolumnach są kolejne współczynniki wielomianów tej danej bazy w bazie "standardowej".
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}\)
Wiersze macierzy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) będą zawierać współczynniki funkcjonałów w bazie sprzężonej do standardowej bazy wielomianów.
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)
Czyli wychodzi na to, że:
\(\displaystyle{ s_1(p) = \frac{1}{2} p(0) + \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_2(p) = \frac{1}{2} p(0) - \frac{1}{2} p'(0)}\)
\(\displaystyle{ s_3(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} + \frac{p'''(0)}{12}}\)
\(\displaystyle{ s_4(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} - \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} - \frac{p'''(0)}{12}}\)
W sumie to by się zgadzało z:
Jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) to układ funkcjonałów \(\displaystyle{ (s_1,...,s_n)}\) zdefiniowany warunkami:
\(\displaystyle{ s_k(a_j) = \begin{cases} 0 , j \neq k \\ 1, j = k \end{cases}}\)
jest bazą \(\displaystyle{ X^*}\).
Znajdź bazę sprzężoną.
-
- Użytkownik
- Posty: 1922
- Rejestracja: 26 mar 2012, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 695 razy
- Pomógł: 4 razy
Znajdź bazę sprzężoną.
Witam!
Przepraszam, że odświeżam ten wątek, ale czy ktoś mógłby wyjaśnić, dlaczego to działa ?
Tzn widzę, że faktycznie spełnia definicję funkcjonału, ale skąd bierze się takie odwracanie macierzy, wpisywanie do macierzy etc.
Przepraszam, że odświeżam ten wątek, ale czy ktoś mógłby wyjaśnić, dlaczego to działa ?
Tzn widzę, że faktycznie spełnia definicję funkcjonału, ale skąd bierze się takie odwracanie macierzy, wpisywanie do macierzy etc.