Znajdź bazę sprzężoną.

[Wilkołak]

W przestrzeni \(\displaystyle{ P^4_{| \mathbb{R}}}\) wielomianów rzeczywistych stopnia co najwyżej 3 dana jest baza:

\(\displaystyle{ p_0(t) = 1 + t}\)
\(\displaystyle{ p_1(t) = 1 - t}\)
\(\displaystyle{ p_2(t) = t^2 + t^3}\)
\(\displaystyle{ p_3(t) = t^2 - t^3}\)

Wyznacz bazę do niej sprzężoną w \(\displaystyle{ (P^4_{| \mathbb{R}})^*}\).

Jak się do tego zabrać?-- 7 lutego 2010, 22:58 --Dobra, to chyba będzie miało jakiś sens

Wiemy, że bazę sprzężoną do bazy wielomianów \(\displaystyle{ [1,t,t^2,...,t^{n-1}]}\) tworzą funkcjonały \(\displaystyle{ [s_1,s_2,...,s_{n-1}]}\) zadane wzorem:

\(\displaystyle{ s_k(p) = \frac{p^{(k-1)}(0)}{(k-1)!}}\)

Zapiszmy teraz bazę wielomianów w macierzy, w której kolumnach są kolejne współczynniki wielomianów tej danej bazy w bazie "standardowej".

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\1&-1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&-1\end{bmatrix}}\)

Wiersze macierzy \(\displaystyle{ A^{-1}}\) będą zawierać współczynniki funkcjonałów w bazie sprzężonej do standardowej bazy wielomianów.

\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&0&0\\0&0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}}\)

Czyli wychodzi na to, że:

\(\displaystyle{ s_1(p) = \frac{1}{2} p(0) + \frac{1}{2} p'(0)}\)

\(\displaystyle{ s_2(p) = \frac{1}{2} p(0) - \frac{1}{2} p'(0)}\)

\(\displaystyle{ s_3(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} + \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} + \frac{p'''(0)}{12}}\)

\(\displaystyle{ s_4(p) = \frac{1}{2} \cdot \frac{p''(0)}{2!} - \frac{1}{2} \cdot \frac{p'''(0)}{3!} = \frac{p''(0)}{4} - \frac{p'''(0)}{12}}\)


W sumie to by się zgadzało z:
Jeśli układ wektorów \(\displaystyle{ (a_1,...,a_n)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) to układ funkcjonałów \(\displaystyle{ (s_1,...,s_n)}\) zdefiniowany warunkami:

\(\displaystyle{ s_k(a_j) = \begin{cases} 0 , j \neq k \\ 1, j = k \end{cases}}\)

jest bazą \(\displaystyle{ X^*}\).

[matinf]

Witam!
Przepraszam, że odświeżam ten wątek, ale czy ktoś mógłby wyjaśnić, dlaczego to działa ?
Tzn widzę, że faktycznie spełnia definicję funkcjonału, ale skąd bierze się takie odwracanie macierzy, wpisywanie do macierzy etc.