1.5 liniowość iloczynu skalarnego

[niebieski]

Mam pytanko dlaczego iloczyn skalarny jest półtoraliniowy wiem że wynika to z właśności
(x|y)=(y|x)* tylko niespecjalnie rozumiem dlaczego ? Przecież można sprawdzic że jest on operatorem liniowym (chyba że się mylę). To jak to własciwie jest ? Byłbym wdzieczny za wyjaśnienie mi tego "jak krowie na granicy" mile widziany byłby dowód z objasnieniem w którym miejsu pojawia sie ta pół liniowośc jednego ze składników. I właściwie co to znaczy że jest pół linowy jakie są tego konsekwencje. Z góry dziękuje za pomoc.

[Emiel Regis]

Dwuliniowość oznacza addytywność + jednorodność dla obu składników.
W liczbach rzeczywistych iloczyn skalarny spełnia wszystkie cztery wymogi (czyli w nich mozna powiedzieć że jest dwuliniowy) natomiast w zespolonych nie. Wyłaczając jakiś skalar sprzed drugiego składnika należy zapisać jego sprzężenie. A że w R sprzężenie jest tą sama liczbą wiec w tym zbiorze jest on dwuliniowy.

Skoro można sprawdzić że jednak jest to zapisz tutaj swoje sprawdzenie, znajdzie sie błąd.

[niebieski]

Już chyba wiem o co chodzi tzn chyba robie niepełny dowód tzn nie wiem czy sprawdzam wszystkie możliwości przedstawie Ci mój tok myślenia tzn niech f(v)=(w|v) wiec aby odwzorownaie było liniowe tak jak wyżej pisałeś musi być addytywność i jednorodność czyli :
f(x+y)=(w|x+y)=(w|x)+(w|y)
f(Ax)=(w|Ax)=A(w|x)=Af(x)
rozumiem że to nei jest kompletny dowód bo gdyby był wszytko by się zgadzało co jeszcze należy sprawdzić ?

[ Dodano: 3 Wrzesień 2006, 17:51 ]
Tzn już chyba wiem czy chodiz o to ze (Ax|y)=A*(x|y) czy dlatego jest półtora liniowość ??

[Emiel Regis]

Trochę mylisz pojęcia, liniowość i dwuliniowość to są dwie różne rzeczy;)
Ale chcesz sprawdzać definicję? Ktoś kiedyś wymyślił iloczyn skalarny i nadał mu pewne cechy, wiec nie ma tu co sprawdzać... co najwyzej możesz sam wymyślić pewne odwzorowanie i sprawdzić czy jest ono iloczynem skalarnym.
Doczytaj sobie tutaj:

Znajdziesz także przykłady innych niż standardowy iloczynów skalarnych.

A co do wszelakiej liniowości to jest zasadnicza różnica czy się napisze:
f(x+y) = f(x) + f(y)
czy
f(x, y+z) = f(x, y) + f(x, z)
Pierwszy warunek jest warunkiem na addytywność liniowości, natomiast drugi warunek jest warunkiem na addytywność drugiego składnika w dwuliniowości.
No i ktoś sobie wymyślił ze iloczyn skalarny ma spelniac warunek:
f(x,ay) = a* f(x,y)
ot co.
Przez co nie zachodzi jednorodność dla drugiego składnika i jest to tylko odwzorowanie półtoraliniowe.

[niebieski]

Dzięki za pomoc