przekształcenie liniowe

mith · Post autor: **mith** » 6 lut 2010, o 20:01

udowodnić, że istnieje dokładnie jedno przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f: C^3 \rightarrow C^3}\)

czy moje rozumowanie jest poprawne? jeśli nie proszę wskazać mi miejsce w którym zaczyna się błąd:
\(\displaystyle{ f(1,0,2) = (1,1,2) - dane

f(1,1,2)= (1,0,2) - dane

f(1,1,0)= (2,-1,0) - dane

f(1,0,0) = f(1,0,2) + f(1,1,0) - f(1,1,2) = (1,1,2)+(2,-1,0)-(1,0,2)=(2,0,0)

f(0,1,0) = f(1,1,2) - f(1,0,2) = (1,0,2) - (1,1,2) = (0,-1,0)

f(0,0,1) = 1/2( f(1,1,2) - f(1,1,0)) = 1/2((1,0,2) - (2,-1,0)) = ( -1/2 , 1/2 ,0)}\)

i teraz te wektory które wyszły mi po prawej stronie mam przedstawić jako kombinacje liniową wektorów (1,1,2).(1,0,2),(2,-1,0) i jeśli mi się uda tz. że istnieje nieskończenie wiele takich przekształceń??
pozdrawiam Mith.

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 20:25

Sprawdzasz, że wektory, dla których masz określone obrazy tego przekształcenia stanowią bazę dziedziny - a przekształcenie zadane na wektorach bazowych jest określone jednoznacznie (ze względu na liniowość przekształcenia oraz jedną z definicji bazy).

Pozdrawiam.

mith · Post autor: **mith** » 6 lut 2010, o 20:29

hehe nie zrozumiałem nic a nic , czyli w tym zadaniu wyznaczanie wartości wektorów z bazy kanonicznej jest całkowicie bezcelowe?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 20:33

A po co to chciałbyś robić? Nie masz tego w zadaniu przecież..

Czego konkretnie nie zrozumiałeś w tym, co napisałam?

Pozdrawiam.

mith · Post autor: **mith** » 6 lut 2010, o 20:39

hmm więc sprawdzam liniową niezależność tych 3 wektorów, jeśli te wektory rozpinają całą przestrzeń tz że tworzą bazę a to z kolei oznacza, że istnieje dokładnie jedno takie przekształcenie liniowe?

BettyBoo · Post autor: **BettyBoo** » 6 lut 2010, o 20:49

Tak, jeśli masz podane obrazy wektorów bazowych to z faktu, że przekształcenie jest liniowe oraz z faktu, że każdy wektor przestrzeni jest unikalną (czyli określoną jednoznacznie) kombinacją wektorów bazowych wynika, że obraz każdego innego wektora dziedziny również jest określony jednoznacznie - a więc jest tylko jedno takie przekształcenie.

Pozdrawiam.

mith · Post autor: **mith** » 6 lut 2010, o 21:11

ok rozumiem ! może jeszcze jest nadzieja dla mnie na zaliczenie algebry w 2 terminie dzięki wielkie )
Pozdrawiam, Mith.