równanie rekurencyjne

[Przemekw]

może ktoś pomóc rozwiązać:

f(n+3)=-f(n+2)+5f(n+1)-3f(n)
jeśli
f(0)=0
f(1)=f(2)=1;

pozdrawiam

[sushi]

najpierw obliczymy f(3) podstawiając za n=0 do wzoru

f(n+3)=-f(n+2)+5f(n+1)-3f(n)

f(0)=0, f(1)=1, f(2)=1
f(3)=-f(2)+5f(1)-3f(0)=-1+5*1-3*0=4

zatem
f(3)=4

teraz n=1

f(4)=-f(3)+5f(2)-3f(1)=-4+5*1-3*1=-2

f(4)=-2

teraz n=2


f(5)=-f(4)+5f(3)-3f(2)= -(-2)+5*4-3*1=19

itd ..
miłego rozwiązywania:)

[Marcin88]

Myślę, że Przemekw chodziło o znalezienie wzoru jawnego dla tego ciągu. Tak więc tworzymy równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ x^3=-x^2+5x-3}\)skąd dostajemy: \(\displaystyle{ (x-1)^2(x+3)=0}\), czyli rozwiązaniem równania charakterystycznego jest
liczba -3 oraz podwójnie liczba 1. Wobec tego wzór ogólny tegoż ciągu jest postaci: \(\displaystyle{ f(n)=c_1(-3)^{n}+c_2{1^{n}}+c_3(n+1)1^{n}=c_1(-3)^n+c_2+c_3(n+1)}\)
Podstawiając teraz za n po kolei wartości 0,1,2 i korzystając z tego że znamy \(\displaystyle{ f(0),f(1),f(2)}\) tworzymy układ równań, z którego wyliczamy, że:
\(\displaystyle{ c_1=\frac{-1}{16}, c_2=\frac{-11}{16}, c_3=\frac{3}{4}}\) i ostatecznie wzór jawny wygląda tak:
\(\displaystyle{ f(n)=\frac{-1}{16}*(-3)^n+\frac{-11}{16}+\frac{3}{4}*(n+1)}\)