Forma dwuliniowa \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3}\) ma w bazie kanonicznej macierz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&2&2\\2&4&0\\2&0&5\end{bmatrix}}\)
Wykaż, że istnieje baza w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\), w której macierz formy \(\displaystyle{ \varphi}\) jest macierzą identycznościową \(\displaystyle{ I_3}\). Znajdź taką bazę.
Jakieś podpowiedzi?
Znalazłem takie twierdzenie mówiące, że:
Niech \(\displaystyle{ \varphi : V \times V \rightarrow \mathbb{K}}\) będzie formą dwuliniową na przestrzeni V i niech \(\displaystyle{ \mathbb{A}, \mathbb{B}}\) będą bazami przestrzeni V. Niech A będzie macierzą formy w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), B macierzą formy w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) i niech C - macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) do \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ B = C^TAC}\)
Ale jakoś nie przyjemne się robi gdy mam znaleźć \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) :/ Może jakoś prościej?
W ogóle jak udowodnić, że istnieje taka baza?
-- 5 lutego 2010, 22:07 --
Czy robię dobrze?
\(\displaystyle{ \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 2&2&2\\2&4&0\\2&0&5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{B} = ?}\)
\(\displaystyle{ B = \begin{bmatrix} 2&2&2\\2&4&0\\2&0&5\end{bmatrix} = I_3}\)
\(\displaystyle{ C = \mathbb{B}^{-1} \mathbb{A} = \mathbb{B}^{-1}}\) taki wzorek na macierz przejścia.
\(\displaystyle{ I_3 = B = C^TAC = (\mathbb{B}^{-1})^TA \mathbb{B}^{-1}}\)
Skoro \(\displaystyle{ I_3 = (\mathbb{B}^{-1})^TA \mathbb{B}^{-1}}\) to \(\displaystyle{ (\mathbb{B}^{-1})^TA = \mathbb{B}}\) ?
Czyli wystarczy zrobić układ 9 równań i mamy wyznaczoną bazę B?
-- 5 lutego 2010, 22:08 --
Oczywiście miało być:
\(\displaystyle{ B = \mathbb{A} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} = I_3}\)-- 5 lutego 2010, 22:12 --Tfu, co ja wypisuję :/
Forma dwuliniowa
Forma dwuliniowa
Ja tam bym zauważył, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna i bym skorzystał z twierdzenia , które mówi, że każda macierz symetryczna nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) zadaje w sposób jednoznaczny formę kwadratową, a później bym powiedział, że każda taka forma kwadratowa ma bazę, w której jest ona w postaci kanonicznej, czyli \(\displaystyle{ Q(X) = a_{1}{x_{1}}^{2} + ... + {a_{n}x_{n}}^2}\), gdzie każdy współczynnik \(\displaystyle{ a_{i}}\) jest niezerowy, bo \(\displaystyle{ rank(A) = 3}\), więc \(\displaystyle{ a_{i} \in \lbrace -1, 1 \rbrace}\) i policzyłbym wielomian charakterystyczny, pewnie by wyszło ze wzorów Viete`a, że wszystkie pierwiastki są dodatnie, więc to byłby koniec zadania, pozdrawiam