przekształcenie liniowe, jądro, obraz

[marcinkowa]

Mam takie zadanie.

a) Niech przekształcenie liniowe F przestrzeni \(\displaystyle{ R^{3}}\) w \(\displaystyle{ R^{3}}\) będzie dane wzorem:
F([x,y,z])=[ 4x-2y+2z, 2x+2z, -x+y+z] Wyznacz macierz tego przekształcenia w bazie jednostkowej.

b) Czy do jądra tego przekształcenia należy jakiś wektor niezerowy? Dlaczego?

odp.

a)
ta macierz to?

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}4&-2&2\\2&0&2\\-1&1&1\end{array}\right]}\)
ktoś mógłby sprawdzić?

b) nie za bardzo rozumiem definicję jądra i obrazu, jeśli ktoś szybciutko w skrócie by coś powiedział o nich byłbym wdzięczny.

Pozdrawiam.

[Kamil_B]

a)ok.
b)Jądro przekształcenia to te wektory które przechodzą nam na wektor zerowy w tym przekształceniu.
(zawsze wektor zerowy należy do jądra).
Musisz więc sprawdzić czy równanie:

\(\displaystyle{ F[x,y,z]=0}\)

czyli

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x-2y+2z=0 \\ 2x+2z=0 \\ -x+y+z=0 \end{cases}}\)

ma jakieś niezerowe rozwiązanie.
Obraz przekształcenia to z kolei wszystkie wektory które możemy otrzymać dzięki temu przekształceniu.
Tutaj \(\displaystyle{ ImF=x(4,2,-1)+y(-2,0,1)+z(2,2,1)}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y,z \in \mathbb{R}}\).